慧眼明辨有无根

刘斯文

对于含有字母参数的整式方程，已知方程根的情况求字母取值或取值范围时，往往需要根据题目中隐含的条件进行求解. 为帮助同学们熟练掌握此类问题的类型及解法，下面分类介绍.

类型一：已知条件是一元二次方程

例1（2019·新疆）若关于x的一元二次方程（k - 1）x2 + x + 1 = 0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）.

A. k ≤ B. k >

C. k < 且k≠1 D. k≤且k≠1

解析：∵关于x的一元二次方程（k - 1）x2 + x + 1 = 0有两个实数根，

∴Δ = 12 - 4×（k - 1）×1 ≥ 0且k - 1≠0，

解得k≤且k≠1.

故选D.

例2（2019·安徽·合肥）若关于x的一元二次方程bx2 + 2bx + 4 = 0有两个相等的实数根，则b的值为（ ）.

A. 0 B. 4

C. 0 或 4 D. 0 或-4

解析：根据题意得Δ = （2b）2 - 4×4×b = 4b2 - 16b = 0，

解得b = 4或b = 0（舍去）.

故选B.

点评：当条件明确整式方程是一元二次方程时，要注意“二次项系数不为0”这一隐含条件.

类型二：已知条件是两个实数根

例3（2019·山东·枣庄）已知关于x的方程ax2 + 2x - 3 = 0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 .

解析：∵关于x的方程ax2 + 2x - 3 = 0有两个不相等的实数根，

∴Δ = 22 - 4a×（-3） = 4 + 12a > 0且a≠0，

解得a > -且a≠0.

故填a > -且a≠0.

例4（2019·河南）关于x的方程（k - 1）x2 + 2x + 1 = 0有两个不相等的实数根，则实数k的最大整数值为 .

解析：∵关于x的方程（k - 1）x2 + 2x + 1 = 0有兩个不相等的实数根，

∴Δ = 22 - 4（k - 1） > 0且k - 1 ≠0，

解得k < 2且k≠1，

∴k的最大整数值为0.

故填0.

点评：当条件明确整式方程有两个不相等的实数根时，实质是说明整式方程是一元二次方程，从而要注意“二次项系数不为0”这一隐含条件.

类型三：已知条件是有实数根

例5（2019·山东·东营）若关于x的方程kx2 - x -  = 0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）.

A. k = 0 B. k≥ -且k≠0 C. k≥ - D. k > -

解析：（1）当k = 0时，此时方程为-x -  = 0，解得x = -，原方程有实数根;

（2）当k≠0时，Δ = 1 - 4k×

- = 1 + 3k ≥ 0，

∴k ≥ -且k≠0.

综上所述，实数k的取值范围是k ≥ -.

故选C.

例6（2019·福建·晋江）已知关于x的方程（2m - 1）x2 - （2m + 1）x + 1 = 0. 求证：不论m为何值，方程必有实数根.

解析：（1）当2m - 1 = 0即m = 时，

此时方程是一元一次方程，其根为x = ，符合题意;

（2）当2m - 1≠0即m≠时，

Δ = [-（2m + 1）]2 - 4（2m - 1） =  （2m - 1）2 + 4 > 0，

∴当m≠时，方程总有两个不相等的实数根.

综上所述，不论m为何值，方程必有实数根.

点评：当题目条件含“有实数根”时，由于没有明确方程是一元二次方程，且没有明确是有多少个实数根，此时需要分二次项系数为0和不为0两种情况求解.