三角形内心与外接圆的变式探索

王锋

与三角形的内心和外接圆有关的问题是中考的常见题型，本文以一道中考试题为例，变式探索如下.

引例（2019·湖北·荆门）如图1，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（ ）.

A. DI=DB B. DI>DB C. DI

分析：观察图形，通过度量可以猜想DI=DB，那么如何说理呢？“等角对等边”是我们证明线段相等常用的方法，为此，连接BI，构造△DBI，只需证∠DBI = ∠DIB即可，观察图形可以发现∠DBI = ∠CBI + ∠DBC，∠DIB = ∠ABI + ∠BAI，只需证明∠CBI = ∠ABI，∠DBC = ∠BAI即可，借助内心的性质及等弧所对的圆周角相等便可获证.

点评：当三角形内心遇到三角形的外接圆时，解题中应当充分发挥由内心创造的条件——角平分线产生的相等的角，并灵活运用相等的圆周角所对弧相等、弦相等，相等的弧、弦所对的圆周角相等等关系，从而为问题的解决开辟光明大道.

点评：（1）当三角形的内心与三角形的外接圆牵手时，等弧、等弦便应运而生，因此易见△BDC是等腰三角形;（2）当圆中出现90°的圆周角时我们应联想到直径，同样有直径时，应想到相应圆周角为直角，从而利用勾股定理进行线段的计算与求值.

變式2：融入垂径定理和切线，继续探究问题的相关结论.

点评：本题的解题关键是从复杂图形中分离出基本图形，从而利用简单图形的性质解决问题.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）