一元二次方程易错点剖析

王继武

一元二次方程是初中数学的重要内容，也是中考必考内容. 本文就该内容的常见错误类型分类解析如下，以供参考.

一、忽视二次项系数不等于零

例1 关于x的方程（m - 2）x∣m∣ - mx + 6 = 0是一元二次方程，则它的一次项系数是（ ）.

A. -2 B. 2和-2 C. 2 D. 2或-2

解析：由题意得：∣m∣ = 2且m - 2 ≠ 0.

解得m = 2或m = -2且m ≠ 2. 故m = -2.

则方程的一次项系数-m = 2.

故选C.

易错点剖析：此类题的常见错误是忽视一元二次方程中二次项系数不为0，从而误选B或D.

二、忽视一元二次方程有根的条件

例2 关于x的方程x2 + 2（k + 2）x + k2 = 0的两根之和大于-4，则k的取值范围是（ ）.

A. k > 1 B. k < 0 C. -1 < k < 0 D. -1 ≤ k < 0

解析：設关于x的方程x2 + 2（k + 2）x + k2 = 0的两根为a，b，

由根与系数的关系得：a + b = -2（k + 2）.

∵关于x的方程x2 + 2（k + 2）x + k2 = 0的两根之和大于-4，

∴-2（k + 2） > -4，解得k < 0.

又∵方程有两个根，∴Δ = [2（k + 2）]2 - 4k2 = 16k + 16 ≥ 0，解得k ≥ -1.

综上，得-1 ≤ k < 0.

故选D.

易错点剖析：此类题的常见错误是只注意到两根之和大于-4，而忽视了“一元二次方程有根”这一隐含条件.

三、忽视结果的正负性

例3 若（x2 + y2）2 - 5（x2 + y2） - 6 = 0，则x2 + y2的值为（ ）.

A. -1 B. 6或-1 C. 6 D. -6或1

解析：设x2 + y2 = t（t ≥ 0），

则原方程转化为关于t的一元二次方程t2 - 5t - 6 = 0，解得t = 6或t = -1.

∵x2 ≥ 0，y2 ≥ 0，∴x2 + y2 ≥ 0，即t ≥ 0.

∴t = 6，即x2 + y2 = 6.

故选C.

易错点剖析：此类问题的常见错误是用换元法解出t后，忽视结合其取值范围进行取舍.

四、思维定式

例4 关于x的方程（k2 - 1）x2 - 2（k + 1）x + 1 = 0有实数根，则k的取值范围是（ ）.

A. k ≥ -1 B. k ≥- 1且k ≠ 1

C. k > -1 D. k > -1且k ≠ 1

解析：分两种情况：

①k2 - 1 = 0， -2（k + 1） ≠ 0即k = 1时，原方程为一元一次方程，一定有实数根;

②k2 - 1 ≠ 0，即k ≠ ±1时，原方程为一元二次方程，

则根的判别式Δ = [-2（k + 1）]2 - 4（k2 - 1） ≥ 0.

解得k ≥ -1.

综上，得k > -1.

故选C.

易错点剖析：此类问题的常见错误是“习惯性”地认为原方程是一元二次方程，而忽视了一元一次方程的情况.

五、方程两边同除以同一个因式时漏根

例5 用因式分解法解方程2（x - 2）2 = x2 - 4.

解析：分解因式，得2（x - 2）2 = （x + 2）（x - 2），

移项得2（x - 2）2 - （x + 2）（x - 2） = 0，

再分解因式，得（x - 2）[2（x - 2） - （x + 2）] = 0，

即（x - 2）（x - 6） = 0，即x - 2 = 0或x - 6 = 0，

解得x1 = 2，x2 = 6.

易错点剖析：此类问题的常见错误是将右边分解因式后，不考虑x - 2 = 0的情况，直接在两边同除以x - 2，导致漏掉x = 2这个根.