精彩的代换 别样的方程

于华虎

一元二次方程是初中数学的一个重要内容，与它有关的题型形式多样、变幻莫测. 其中有一种题是已知方程，求含有这个方程的根的代数式的值，这类题要求同学们必须能熟练转换一元二次方程的形式，运用整体代换的方法解决问题. 下面通过中考中的五个典型例题进行讲解，希望对同学们有所帮助.

一、将方程变换成一种形式代入

例1 已知方程[x2+x-5=0]，不解方程求[x3-6x+4]的值.

解析：因为[x2+x-5=0]，所以[x2+x=5]，

故[x3-6x+4]=[x3+x2-x2-x-5x+4]=x（x2 + x） - （x2 + x）-[5x+4]=[x·5-5-5x+4]=-1.

例2 若[n]是关于[x]的一元二次方程[x2+mx+n=0]的一个根（[n≠0]），求[m+n]的值.

解析：因为[n]是关于[x]的一元二次方程[x2+mx+n=0]的一个根，

所以有[n2+mn+n=0]，提公因式得[n（n+m+1）=0]，

∵[n≠0]，故[m+n+1=0]，

于是[m+n=-1].

点评：上面两题如果按照惯性思维，先求方程的根再代入求值，其复杂程度可想而知，而采用将方程变形再整体代入的方法使问题得以巧妙解决！

二、将方程变换成两种以上的形式代入

例3 若[a]是一元二次方程[x2-x-1=0]的一个根，求代数式[a4+2a+1a52020]的值.

解析：因为[a]是一元二次方程的一个根，所以有[a2-a-1=0]，

将其变形可得①[a+1=a2]，②[2a+1=a2+a]，

于是[a4+2a+1a52020=a4+a2+aa52020=a3+a+1a42020=a3+a2a42020=]  [a+1a22020]= [a2a22020]= 1.

例4 设[a]是一元二次方程[x2-2020x+1=0]的一个实数根，求代数式[a2-2019a+2020a2+1]的值.

解析：由于[a]是一元二次方程[x2-2020x+1=0]的一个实数根，

则[a2-2020a+1=0]，

将其变形为①[a2+1=2020a]，②[a2-2020a=-1]，

则[a2-2019a+2020a2+1=a2-2020a+a+2020a2+1=] [-1+a+] [20202020a] [=-1+a+1a] [=a2+1-aa][ =2020a-aa] [=2019].

例5 已知方程[x2+3x+1=0]，不解方程，求[x3+3x2+3x2+1]的值.

解析：将[x2+3x+1=0]变形，得到如下三种情形：

①[x2+3x=-1];②[x2+1=-3x];③[x+1x]=-3，

故[x3+3x2+3x2+1]=[xx2+3x+3x2+1=x·-1+3-3x]=[-x-1x]=[-x+1x]=-（- 3）=3.

点评：将方程变换成两种以上的不同形式，通过多次整体代入，使烦琐的问题变得简单.

1. 已知[x=1]是一元二次方程[ax2+bx-40=0]的一个根，且[a≠b]，求[a2-b22a-2b]的值.

提示：由[x=1]是一元二次方程[ax2+bx-40=0]的一个根可得[a+b-40=0]，则有[a+b=40]，可得答案为[20].

2. 已知[x]是一元二次方程x2 +3x -1 = 0的實数根，求代数式[x-33x2-6x÷x+2-5x-2×3x2-1] ÷ [x]的值.

提示：将一元二次方程变形为两种形式：①[x2-1=-3x]，②[x2+3x=1]，则有

[x-33x2-6x÷x+2-5x-2×3x2-1÷x=x-33x（x-2）×x-2x2-9×3x2-1÷x] = [13（x2+3x）×3x2-1÷x] [=13×3x2-1÷x=x2-1÷x=-3x÷x=-3].