中考数学压轴题中的“新定义”型问题例析
2020-09-10毛利平
毛利平
“新定义”型问题是近年来全国各地中考试题命制者研究的热门方向，.它需要学生阅读题目给出的相对于学生来说是新知识的材料，并在理解的基础上加以运用，以解决新问题，它主要考查学生自己阅读材料获取新知识，即时理解新知识和运用新知识解决相应问题的能力.笔者就近三年南通市中考数学压轴题中的“新定义”型问题加以评析.
例1.（2017年南通市）我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形，若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”。
（1）等边三角形“內似线”的条数为 ;
（2）如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的“內似線”;
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“內似线”，求EF的长.
【解答】（1）解：等边三角形“內似线”的条数为3条;理由如下：
过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图1所示：
则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，
∴MN、EF、GH是等边三角形ABC的內似线”;
故答案为：3;
（2）证明：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，
∴△BCD∽△ABC，
又∵∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC，
即BD过△ABC的内心，
∴BD是△ABC的“內似线”;
（3）解：设D是△ABC的内心，连接CD，则CD平分∠ACB，
∵EF是△ABC的“內似线”，
∴△CEF与△ABC相似;
分两种情况：①当时，EF∥AB，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴，
作DN⊥BC于N，如图2所示：
则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，
∴=1，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∵DN∥AC，
∴，即，
∴，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，即，
解得：;
②当时，同理得：;
综上所述，EF的长为.
评析：本题是相似三角形的几何综合题目，考查了相似三角形的判定和性质、三角形的内心、勾股定理、直角三角形的内切圆等知识.同时又能有效承载考查学生能力，关注学习和探究问题解决的过程，充分体现了 “重视过程性学习”理念，把陌生的、要解决的问题转化为熟悉的问题予以解决.
例2.（2018年南通市）【定义】如图3，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线1的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”.
【运用】如图4，在平面直坐标系xOy中，已知A（2，），B（﹣2，）两点.
（1）C（4，），D（4，），E（4，）三点中，点 是点A，B关于直线x=4的等角点;
（2）若直线l垂直于x轴，点P（m，n）是点A，B关于直线l的等角点，其中m>2，
∠APB=α，求证：;
（3）若点P是点A，B关于直线y=ax+b（a≠0）的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当∠APB=60°时，求b的取值范围（直接写出结果）.
【解答】（1）点B关于直线x=4的对称点为B′（10，），
∴直线AB′解析式为：，
当x=4时，y=.
故答案为：C;
（2）如图5，过点A作直线l的对称点A′，连A′B，交直线l于点P.作BH⊥l于点H.
∵点A和A′关于直线l对称，
∴∠APG=∠A′PG，
∵∠BPH=∠A′PG，
∴∠APG=∠BPH，
又∵∠AGP=∠BHP=90°，
∴△AGP∽△BHP，
∴，即，
∴，即.
∵∠APB=α，AP=AP′，
∴∠A=∠A′=，
在Rt△AGP中，;
（3）点P位于直线AB的右下方，∠APB=60°时，点P在以AB为弦，所对圆周角为60°，且圆心在AB下方，如图6.
若直线y=ax+b（a≠0）与圆相交，设圆与直线y=ax+b（a≠0）的另一个交点为Q.
由对称性可知：∠APQ=∠A′PQ，
又∠APB=60°，
∴∠APQ=∠A′PQ=60°，
∴∠ABQ=∠APQ=60°，∠AQB=∠APB=60°，
∴∠BAQ=60°=∠AQB=∠ABQ，
∴△ABQ是等边三角形.
∵线段AB为定线段，
∴点Q为定点.
若直线y=ax+b（a≠0）与圆相切，易得P、Q重合，
∴直线y=ax+b（a≠0）过定点Q.
连OQ，过点A、Q分别作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为M、N.
∵A（2，），B（﹣2，），
∴OA=OB=.
∵△ABQ是等边三角形，
∴∠AOQ=∠BOQ=90°，OQ=，
∴∠AOM+∠NOQ=90°，
又∵∠AOM+∠MAO=90°，∠NOQ=∠MAO，
∵∠AMO=∠ONQ=90°，
∴△AMO∽△ONQ，
∴，
∴，
∴ON=，NQ=3，
∴Q點坐标为（3，）.
设直线BQ解析式为，
将B、Q坐标代入得，
解得，
∴直线BQ的解析式为：.
设直线AQ的解析式为：y=mx+n，
将A、Q两点代入得，
解得，
∴直线AQ的解析式为：.
若点P与B点重合，则直线PQ与直线BQ重合，此时，;
若点P与点A重合，则直线PQ与直线AQ重合，此时，.
又∵y=ax+b（a≠0），且点P位于AB右下方，
∴b<且b≠或.
评析：本题以教材“最短路径模型”构造新定义问题，考查对新定义的理解、运用和探究等，使传统试题具有新意和活力.考查的知识点主要有轴对称、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、确定一次函数的解析式等.
例3.（2019年南通市）定义：若实数x，y满足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，t为常数，则称点M（x，y）为“线点”.例如，点（0，﹣2）和（﹣2，0）是“线点”.已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）.
（1）P1（3，1）和P2（﹣3，1）两点中，点 是“线点”;
（2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围;
（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当
|∠POQ﹣∠AOB|=30°时，直接写出t的值.
【解答】解：（1）∵当M点（x，y），若x，y满足x2﹣2y=t，y2﹣2x=t且x≠y，t为常数，则称点M为“线点”，
又∵P1（3，1），则32﹣2×1=7，（1）2﹣2×3=﹣5，7≠﹣5，
∴点P1不是线点;
∵P2（﹣3，1），则（﹣3）2﹣2×1=7，12﹣2×（﹣3）=7，7=7，
∴点P2是线点，
故答案为：P2;
（2）∵点P（m，n）为“线点”，
则m2﹣2n=t，n2﹣2m=t，
∴m2﹣2n﹣n2+2m=0，m2﹣2n+n2﹣2m=2t，
∴（m﹣n）（m+n+2）=0，
∵m≠n，
∴m+n+2=0，
∴m+n=﹣2，
∵m2﹣2n+n2﹣2m=2t，
∴（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）=2t，
即：（﹣2）2﹣2mn+2×2=2t，
∴mn=4﹣t，
∵m≠n，
∴（m﹣n）2>0，
∴m2﹣2mn+n2>0，
∴（m+n）2﹣4mn>0，
∴（﹣2）2﹣4mn>0，
∴mn<1，
∵mn=4﹣t，
∴t>3;
（3）设PQ直线的解析式为：y=kx+b，
则，
解得：k=﹣1，
∵直线PQ分别交x轴，y轴于点A、B，
∴∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵|∠AOB﹣∠POQ|=30°，
∴∠POQ=120°或60°，
∵P（m，n），Q（n，m），
∴P、Q两点关于y=x对称，
①若∠POQ=120°时，如图7所示：
作PC⊥x轴于C，QD⊥y轴于D，作直线MN⊥AB.
∵P、Q两点关于y=x对称，∴∠PON=∠QON==60°，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AON=BON=45°，
∴∠POC=∠QOD=15°，
在OC上截取OT=PT，则∠TPO=∠TOP=15°，
∴∠CTP=30°，
∴PT=2PC=2n，TC=，
∴﹣m=，
由（2）知，m+n=﹣2，
解得：m=﹣1﹣，n=﹣1，
由（2）知：mn=4﹣t，t>3，
∴（﹣1﹣）（﹣1+）=4﹣t，
解得：t=6，
②若∠POQ=60°时，如图8所示，
作PD⊥x轴于D，QC⊥y轴于C，作直线MN⊥AB.
∵P、Q两点关于y=x对称，
∴∠PON=∠QON==30°，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AON=BON=45°，
∴∠POD=∠QOC=15°，
在OD上截取OT=PT，则∠TPO=∠TOP=15°，
∴∠DTP=30°，
∴PT=2PD=﹣2n，TD=，
∴，
由（2）知，m+n=﹣2，
解得，，
由（2）知：mn=4﹣t，t>3，
∴，
解得：，
综上所述，t的值为：6或.
评析：本题是以代数为主线的“新定义”型综合题目，先阅读新定义“线点”，弄清楚什么叫“线点”，再由给出的例如点（0，﹣2）和（﹣2，0）是“线点”，进一步理解“新定义”，再根据对“新定义”的理解用填空形式判断P1（3，1）和P2（﹣3，1）两点中哪个是“线点”，最后根据“线点”定义以及配方、分类讨论、数形结合等数学思想方法解决后面两问带含有字母参数的问题，命题者设置三个层次的问题，由易到难，让不同层次的学生都有所得。
通过以上三例“新定义”型题目的评析，再参考近年来北京等省市中考数学命题提供的信息，让我们一线教学工作者知道“新定义”型问题将成为各地命制中考数学压轴题的新亮点，同时需要我们重视学生应用新的知识解决问题的能力，对“新定义”型问题的编制和教学等方面进行有效的探究与研讨。
