分类讨论思想在高中数学解题中的应用

李伟

【摘    要】分类讨论思想是高中数学思想方法中比较重要的一种，它主要是一种数学思想和逻辑方法，为了更好地教学数学，将数学题进行分类归整，针对不同题型采取不同方法解答，最后得出答案。本篇文章从分类讨论思想的概念、对解题的具体应用、使用意义三方面来对其进行研究和探讨。

【关键词】高中数学  分类讨论思想  应用

中图分类号：G4     文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2020.07.011

高中数学作为高考的重要科目，解题方法在教师教学中尤其凸显，函数题、证明题、求值题、几何题，怎样运用现有的条件推理出答案，是教师教学的重点。在新课改后高考数学偏向于对学生逻辑思维和解题方法的考察，不再是书本上常规例题的延伸，所以分类讨论思想已成为高中数学教学的重要环节，教师对分类讨论思想应该着重讲述，下面从分类讨论思想的概念引入，重点讲解在解题中的应用及应用的现实意义。

一、分类讨论思想的概念

分类讨论思想是指将研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类、若干问题进行一一解决，然后再逐一研究的思想方法。其中，分类讨论思想应该遵循每级分类按同一标准进行、分类应逐级进行、同级互斥、不得越级的原则，“每级分类按同一标准进行”是将研究的问题按照一样的标准分成若干类、若干小问题，“分类应逐级进行”是将上一步骤分成的问题从大到小按次序解答，“不得越级”也是将上一级分类的问题从简单的问题到复杂的问题，不得越级进行，另外，分类讨论的步骤应先明确讨论的对象，再明确讨论的标准，逐类得到筛选结果，最后得出结论，所以教师在讲课时必须严格按照步骤进行，否则分类讨论思想的作用就发挥不大。在高中数学分类讨论思想中，可以分为数与代数、几何与其他这三类对象，这三类对象中数与代数又是分类对象的重点。

二、分类讨论思想在数学解题中的具体应用

（一）在不等式中的应用

不等式是高中教学选修课必修内容，占高考总分数的0.06%，虽然占比较少，但是在选做题中是占10分的。教师在不等式的授课过程中，分类讨论应作为不等式章节讲解的主要方法，根据不等式的特性，对同一道题有不同的讨论方式。教师在教不等式这节内容时，要时刻贯穿分类讨论思想在解题中的有利作用，让学生在做题一遇到不等式题型时，就要产生用分类讨论方法的想法。

（二）在三角函数中的应用

三角函数是高考数学的重难点，许多学生对函数有着莫名的害怕，认为函数是高中内容最难学的部分，函数确实是最难的，但是三角函数又是函数中比较简单的一种，它可以借用图像来分析理解，比起单纯的函数来说，三角函数变得不那么难。教师在教授三角函数时，可以先将典型例题进行讲解，等学生对三角函数有个初步理解时，就深入分析三角函数在解题时要用到的解题方法，其中角度问题就是三角函数中的难点问题。根据角度的大小对答案进行差别讨论，如果是锐角三角形得到的答案应该要什么前提条件，钝角三角形和直角三角形时又需要什么前提条件，当为直角时算式会不会不成立等等。分类讨论在三角函数角度问题中是比较重要的一种解题方法，教师在对学生讲解时，要注意方法是否运用恰当，例如，出题者是想考察三角函数的性质，学生理解为考察三角函数的定义，牛头不对马嘴，从一开始就将方法运用错误的话，那么这道题将必错无疑，所以，教师就要将分类讨论这种方法的适用题型和情况讲解清楚，告诉学生不是每一种题型都会运用到。

（三）在几何数学中的应用

几何数学是空间想象能力不好的学生的致命题，许多学生面对几何题都是无从下手，不知怎么开始。教师经常会讲：“从题目已知条件中可以知道什么，推出什么，题目要求什么，需要什么”，将已知条件标在图上，通过已知条件推出相关结论，层层深入，最后只选择需要的条件，就是如此将大问题分成一个个小问题，将小问题一一解决归纳去解决大问题，从易到难，级别分明，这就是分类讨论思想的原则。还有，教师要着重培养学生的逻辑推理能力，从这一步骤怎么推到下一步骤，最后怎么将得出的条件综合在一起写出条理清晰的解题步骤，这些都是解决几何题所需的基本条件，如果学生不具备这些条件，分类探讨方法也就发挥不了实际作用。

三、分类讨论思想对高中数学的现实意义

（一）帮助学生树立严谨的逻辑思维能力

学生在应用分类讨论思想解题的过程中，增强了学生的数学逻辑思维能力，促进了学生对数学题型分类的把握和试题立意考察的了解，并且在以后的数学学习中，无论是函数、几何、应用还是证明，都可以轻松严谨地对待，面对问题解决问题，从头到尾，从上到下，步步深入，步步思考，并寻找最佳的解题方案。此外，还对学生的大脑具有开发的作用，在面对意外事情时，可以沉着冷静，逻辑严明寻找解决问题的办法。

（二）帮助教师创新不同的解题方法

分类讨论思想广泛应用在数学教学中，学生在利用分类讨论思想解题的过程中，可能会根据自身的解题思路开发新的解题方法和解题方案，教师在授课的同时，应该把握学生的解题思路，观察与原本的分类讨论方法有何出处，如果是新的方法，及时掌握和综合应用到解题中去。另外，教师还可以将分类讨论思想运用在上课中，根据不同的授课内容制定不同的授课方法，将创新的授课方法融入到实际解题中，潜意识中让学生了解分類讨论思想在解题中的重要性。

（三）帮助数学题型的创新和开发

利用分类探讨思想在数学题中只适合那几种题型，具有严重的局限性，学生一直练习做那几种题型，对学生数学成绩的提升没有太大作用，相反，教师和编题人利用分类讨论思想改革题型，发明新题目，新类型，让分类讨论能够更多地运用在不同题型中，如此一来，教师的教学内容得到了创新，数学质量也得到了提升，学生练习的题型增多，对学生高考的利处就越大。

综上所述，分类讨论思想是高中数学解题的重要思想，教师应该将此思想广泛合理地运用在数学不等式、三角函数、几何中，但是必须注意的是，在运用分类讨论思想时不要盲目地进行分类讨论，一种题型对应一种解题方法。此外，分类讨论思想对培养学生的逻辑思维能力、创新能力、严谨态度和分析实际问题都有很大帮助，并在数学教学的各个阶段都起着非常重要的作用。

参考文献

[1]於秋静.高中数学三角函数问题有效教学策略探析[J].语数外学习（高中版中旬），2013（9）.

[2]喻绍梧.培养和发展学生的逻辑思维能力——兼谈统编高中数学一册教学中的几个问题[J].四川师范大学学报：自然科学版（03）：97-110.