实变函数方法在经典微积分中的应用研究

摘要：作为大学数学专业的基础性课程，实变函数论同数学各分支领域存在极为紧密的联系，特别是在经典微积分中的应用，可以应对数学学科的抽象性特点，为学生奠定良好的学习基础。本文结合实变函数方法的相关内容，探讨了其在经典微积分中的具体应用，并分析了基于实变函数论的微积分教学策略，以期为推动实变函数在微积分中的进一步延伸提供参考。

关键词：大学数学;实变函数方法;微积分;应用

实变函数是大学数学的一门专业核心课程，也是进入后续学习的基础性课程，如果实变函数的学习存在缺陷，那么未来的专业课学习也必然会面临着现实的阻碍。与基础教育相比，高等教育阶段的数学课程抽象性、系统性、理论性特点愈发突出，这也意味着学生的学习难度也随之提升，将实变函数方法应用到各分支领域，特别是微积分这一基础性领域，对于缓解学生的畏难情绪、帮助学生厘清数学思维脉络具有重要价值。

一、實变函数方法概述

19世纪与20世纪之交，实变函数论作为一个新的数学分支产生，实变函数方法也应运而生，其是研究一般实变函数的数学方法。数学家勒贝格的测度、可测集、可测函数和积分的理论构成了实变函数论的最主要的内容。如果说微积分讨论的函数都是性质“良好”的函数，则实变函数论是从连续性、可微性、勒贝格可积性三个方面讨论最一般的函数，包括从微积分学来看性质不好的函数。

二、实变函数方法在经典微积分中的应用

（一）Riemann积分进行定义

实变函数本身来源于数学分析基本理论的延伸，是基于特定数学经验的总结与发展，从这一点上来说，其是对Riemann积分的改进。Riemann的思想是对函数项[0，1]区间上的dirichlet函数不可积，其主要是一种分割定义域的方式，从而产生了lebesgue的测度理论以及积分理论。为解决此类问题，就需要实现实变函数方法同值域基本概念与理论的密切结合。

（二）在概率论及随机分析中的应用

实变函数方法在概率论与随机分析中的应用，也是由这两门细分课程的具体情况决定的，概率论与随机分析具有极强的抽象性，需要依托于实变函数方法这一桥梁，以实现更进一步、更细分地挖掘。例如，在lebesgue的授课中可以发现，学生对于该积分和Riemann的关系理解往往较为模糊，而如果引入实变函数方法则可以有效解决这一问题。最直观的表现就是在对应测度的子集的可测问题上，实变函数方法的应用可以实现举一反三的效果。

（三）在外测度lebesgue中的定义讲解

在专业教学中，无法对lebesgue给出直接的概念性定义，往往只能借助极限理论实现对圆的面积公式的获取，即由外切正多边形外包、内接正多边形的面积内填的极限推导圆的面积。在此期间可以对外包的个数进行统计，涉及的主要运算有并运算、差运算、余运算以及交运算，其对应的结果都可以进行预测。这种方法对数学微积分中的根源问题进行了有效分析，可以帮助学生解决理解上的困难。

三、基于实变函数论的微积分教学策略

（一）上好“第一堂课”

微积分本身具有较强的抽象性，尤其是对刚刚步入大学生活的学生来说，微积分课程同其在高中阶段接触到的数学课程在思想上、应用模式上均存在着显著的差异，这也使得其很难在短时间内快速适应微积分的学习，甚至很多学生从此产生了对于数学学科的畏惧心理。因此，上好“第一堂课”，在大学伊始帮助学生奠定扎实的微积分学习基础，具有极高的现实价值。这就要求教师应当积极思考实变函数论下的趣味性与引导性教学策略，以兴趣激发为主，力求消除学生的畏惧与抵触情绪。例如，微积分教学中较为常见的区域性问题，往往要求学生对无穷可微性进行深入理解，这种理解是一个递进的过程，因此教师在讲解过程中也应当注意梯度设置，做好各层次的有效衔接，实现环环相扣的引入教学。再例如，教师应当引导学生认识到实变函数论的基础性作用，使得其理解实变函数论对于后续深入学习的重要性，在教学伊始就可以通过对有关数学史发展脉络的介绍，激发学生进行系统化实变函数学习的热情，为其主动将实变方法应用到微积分中打下坚实基础。

（二）以优质的教学方案作为支持

微积分本身的抽象性与系统性较强，因此在基于实变函数论的微积分教学中，教师必须把握好可能出现的各种问题，将其纳入到统一的教学方案中去，同时依照实际教学过程中对于学生状态的观察，及时审视该种教学方案是否存在应用价值、是否需要进行调整补充，从而形成动态化的方案支撑，以期实现最佳的教学效果。

（三）探究课的合理安排

实变函数方法与微积分均具有极强的应用型与探索性特点，从发现问题、提出问题，到诉诸于实变方法摸索解决方案、最终解决问题，这是一个持续性的探索过程，从本质上来说，这种探究也是数学学科的魅力所在。因此，在基于实变函数论的微积分教学中，教师可以设置一些针对性的探究讨论课程。在正式进入教学环节之前，由学生通过自主学习，以文献查阅、慕课学习等方式获取关于基础性微积分与实变函数方法的资料，并同本阶段的教材内容进行结合，增强对于实变函数方法的理解。在课堂教学中，教师应当为学生设置引导性的探究问题，例如，根据lebesgue积分的操作步骤，思考应当如何简化其计算过程。这一类问题紧扣教学主题，又具有极强的开放性，学生在已经拥有了一定的知识积累的基础上，也能够以较强的自主性去对lebesgue的积分操作进行辨证思考，实现对积分求和定理的灵活运用，取代过去不能用微分号的特点，了解lebesgue在何种情况下不可以取积分。这种探究的形式，可以使得学生保持长效的学习热情，引导其在数学学习的过程中逐渐“登堂入室”

四、结束语

综上，实变函数方法是高等数学的基础性手段，对于学生的知识建构具有必要价值，将实变函数方法应用到微积分中，可以帮助学生理解数学各分支领域的密切联系，形成更加系统的数学思维。对于高校教师来说，应当立足于实变函数论的基本特点，保证课堂教学的有效性，最大程度激发实变函数方法的应用价值。

参考文献：

[1]王本晶.实变函数方法在经典微积分中的应用[J].科技经济导刊，2016（17）：173.

[2]丁小平.略论作为微积分原理的完善的实变函数[J].前沿科学，2016，10（04）：46-53.

[3]王仲倩.实变函数方法在经典微积分中的应用[J].教育现代化，2017，4（02）：149-150.

作者简介：魏育飞（1972-），男，汉族，内蒙古巴彦淖尔人，内蒙古师范大学数学专业本科，内蒙古河套学院数学与计算机系，副教授。