矩阵特征值性质及其在考研数学解题中的应用
2020-09-10陈华何佳怡袁致成吴奔潮彭浩天
陈华 何佳怡 袁致成 吴奔潮 彭浩天
[摘 要]线性代数是理工科大学数学教育中的重要组成部分，这门学科对很多备战考研的学子来说，最深刻的感觉就是抽象、概念多、定理多、性质多、关系多。学生如果对基础概念与解题方法掌握不熟练，拿到题就容易不知所措。通常情况下，线性代数的考题的跨度比较大。一个题目，表面上看，只是考某一章节的知识点，而处理时可能会涉及多个章节里面的知识点，这给考生复习带来了困难和阻力。但同时线性代数的题型和解题方法比较固定，有规律可循。
[关键词]线性代数;考研数学;特征值;矩阵
[基金项目]2018年度江苏省教育科学“十三五”规划课题“理工类院校高等数学研究性教学与学生人文素质培养的有机融合与实践”（c-b/2018/01/06）;2018年度江苏省高校数学教研会课题“新工科大学生人文素质培养在数学类基础课程建设中的有机融合与实践”（JSSXJY201803）;2019年度中央高校基本科研业务费专项资金资助“数学类基础课研究性教学探讨与实践”（2019B52314）
[作者简介]陈 华（1978—），男，江苏扬中人，博士，河海大学理学院教授，硕士生导师，主要从事非线性控制、受限控制、轮式移动机器人运动控制、分数阶动力学系统控制研究。
[中图分类号] G642[文献标识码] A[文章编号] 1674-9324（2020）33-0324-02[收稿日期] 2020-03-09
一、引言
矩阵特征值是线性代数的重点内容之一，也是考研的热点，考生在复习这块内容时应认真仔细。首先，要理解特征值、特征向量的概念，掌握求矩阵特征值、特征向量的方法;其次，要理解矩阵相似的概念，掌握相关性质，弄明白矩阵能进行相似对角化的条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法;最后，要熟悉应用实对称矩阵特征值、特征向量的特殊性质，掌握用正交矩阵将实对称矩阵化为对角矩阵的方法。
矩阵的特征值与特征向量，每年考大题时，都会涉及这章内容，且重点考查三个方面：一是特征值与特征向量的定义、性质及求法;二是矩阵的相似对角化问题;三是实对称矩阵的性质及正交相似对角化的问题。
下面通过对历年真题的研究分析，对真题考点进行总结，对考研复习是大有裨益的。
二、方阵的特征值与特征向量基本概念
定义1 设A是n阶矩阵，若存在数λ和n维非零列向量x，使得关系式
Ax=λx （1）
成立。那么，数λ可称为矩阵A的特征值，非零向量x称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
显然，（1）式可等价为
（A-λE）x=0 （2）
即
上式是以λ为未知数的一元n次方程，称为矩阵A的特征矩阵。其左端式子|A-λE|是λ的n次多项式，记作f（λ），称为矩阵A的特征多项式。显然，A的特征值就是特征方程的解。特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，n阶矩阵A在复数范围内有n个特征值[1]（P120）。
定义2 设A和B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得
P-1AP=B
则称矩阵A和B相似，记作A～B。如果A能与对角矩阵相似，则称A可对角化。
定理1 如果α1，α2，…，αt都是矩阵A的对应于特征值λ的特征向量，那么当k1α1+k2α2+…+ktαt非零时，k1α1+k2α2+…+ktαt仍是矩阵A对应于特征值λ的特征向量[2]（P126）。
定理2 设n阶矩阵A=（aij）的特征值为λ1，λ2，…， λn不难证明：
（i）λ1+λ2+…+λn=a11+a22+…+ann;
（ii）λ1λ2…λn=|A|
由（ii）可知A是可逆矩阵的充分必要条件是它的n个特征值全不为零。
设λ=λi为矩阵A的一个特征值，则由方程
（A-λiE）x=0
可求得非零解x=pi，那么pi便是A的对应于特征值λi的特征向量（若λi为实数，则pi可取实向量;若λi为复数，则pi可取复向量）。[1]（P120）
定理3 如果λ1，λ2，…，λm是矩阵A的互不相同的特征值，α1，α2，…，αm分别是与之对应的特征向量，则α1，α2，…，αm线性无关[2]（P135）。
定理4 如果A是n阶矩阵，λi是A的m重特征值，则对应于λi的线性无关的特征向量的个数不超过m个[3]。
定理5 n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关特征向量[4]（P264）。
推論：若λ是n阶矩阵A的特征值，非零向量α为矩阵A对应于特征值λ的特征向量，则是K1A+K2E，Am，A-1，A*，f（A）的特征值;非零向量α是K1A+K2E，Am，A-1，A*，f（A）的对应于特征值的特征向量，如下表所示。
A K1A+K2E Am A-1 A* f（A）
λ k1λ+k2 λm f（λ）
α α α α α α
三、历年考研题中特征值与特征向量的应用
例1（2018数学一）：设2阶矩阵A有两个不同的特征值，α1，α2是A的线性无关的特征向量，且满足A2（α1+α2）=α1+α2，则|A|= 。
答案：-1。
解析：設Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2，则A2（α1+α2）=A2α1+ A2α2=λ12α1+λ22α2=α1+α2。由于α1，α2线性无关，故λ12=1，λ22=1，从而可得A的两个不同的特征值为1，-1，故|A|=λ1λ2=-1。
例2（2015数学二）：设3阶矩阵A的特征值为2，-2，1，B=A2-A+E，其中E为3阶单位矩阵，则行列式|B|= 。
答案：21。
解析：由题设可知的特征值为4，4，1，所以矩阵B的特征值为3，7，1。
|B|=3×7×1=21。
四、结论
矩阵的特征值和特征向量相关知识在近几年来的线性代数考研中应用广泛，除了求解的基本问题，还涉及矩阵相似、相似对角化，以及用正交矩阵将实对称矩阵化为对角矩阵等。本文对线性代数中的重要知识点特征值和特征向量进行了详细的归纳总结，并通过历年考研题进行分析，灵活应用相关的定理和推论，达到了简化步骤、快速解决较复杂问题的效果。学生学习并熟练掌握矩阵特征值的性质，对考研数学解题起到不可忽视的作用。
参考文献
[1]同济大学数学系.工程数学 线性代数[M].北京：高等教育出版社，2014：120.
[2]李永乐.线性代数辅导讲义[M].西安：西安交通大学出版社，2010：126.
[3]向以华.矩阵的特征值与特征向量的研究[J].重庆三峡学院学报，2009，25（3）：135-138.
[4]杨莉.即学即用 线性代数十五讲[M].北京：中国时代经济出版社，2009：264.
Matrix Eigenvalue Properties and Its Application in the Mathematical Problem Solving
of Postgraduate Entrance Examination
CHEN Huaa， HE Jia-yib， YUAN Zhi-chengc， WU Ben-chaoc， PENG Hao-tianc
（a. College of Science， b. College of Internet of Things Engineering， c. College of Mechanical and Electrical Engineering， Hohai University， Changzhou， Jiangsu 213022， China）
Abstract： Linear algebra is an important part of mathematics education in science and engineering universities. For many students preparing for the postgraduate entrance examination， the most profound feeling of this subject is that it is very abstract， and has many concepts and theorems， many properties， and many relationships. If students are not proficient in basic concepts and problem-solving methods， they are easily at a loss. Under normal circumstances， the span of linear algebra exam questions is relatively large. On the surface， a question is only about the knowledge points of a certain chapter， but actually it involves the knowledge points of many chapters， which brings difficulties to the preparation of students. But at the same time， the problem types and problem-solving methods of linear algebra are relatively fixed， and there are rules to follow.
Key words： linear algebra; mathematics of postgraduate entrance examination; eigenvalue; matrix
