基于探索性和聚类的《高等数学》成绩分析

肖丽利

（四川文理学院 科技处,四川 达州635000）

0 引言

目前,数学已经渗透到人们学习、工作和生活的方方面面,只有深入掌握数学知识才能满足现代学习、工作和生活的需要.作为一名大学生掌握数学的应用是必须的,所以一般的普通高校都会为理工科及部分文学专业学生开设《高等数学》这门课程,它是大学生在数学领域方面的入门课程.近年来,《高等数学》课程教学形式不断更新,教学模式众多,教育界对数学的实际应用研究也较多,但对不同学科和不同数学认知的学生课堂教学的有效性研究甚少.因此,为了解高校不同学科和不同数学认知的学生《高等数学》学习的状况和培养方案的进一步改进,本研究通过对W 高校理学、工学、文学类分别随机平均选取100 名学生《高等数学》的卷面成绩、平时成绩和期末成绩进行探索性和聚类分析,旨在了解不同学科学生的成绩分布情况,对教师进行因材施教提供了一定的参考价值,对改进教学方法及对《高等数学》课程教学改革指明一定的方向,让教学效率更加高效.［1］

1 数据描述

1.1 数据来源

样本数据来源于W 高校,属于非公开数据.样本数据包括300 条学生《高等数学》成绩,每一条记录包含的基本信息有学生姓名、学科、平时成绩、卷面成绩、期末成绩和等级六个属性,各属性的具体含义如表1所示.

表1 数据属性

学科平时成绩卷面成绩期末成绩等级学生的学科大类别学生平时的成绩,包括课堂表现、平时作业以及迟到早退等学生期末试卷所取得的考试成绩由30%平时成绩和70%的卷面成绩组成学生成绩的等级表现理学、工学和文学为0-100分的数字为0-100分的数字为0-100分的数字不及格、及格、中等、良好、优秀字段 含义 取值

1.2 数据预处理

所获得原始数据中本身无等级这一属性字段,为了后续统计分析学生成绩最终表现情况,所以将成绩划分了五个等级,具体如表2所示.

表2 等级划分

在此,我们去掉了卷面成绩为0的学生记录.

1.3 数据探索性分析

首先,我们对预处理后的数据进行探索性分析,观察这300 条学生成绩中各类成绩的数据形态、成绩的集中趋势、成绩的分散程度、成绩分布的形状等.通过R 语言中的summary（jsj_qmcj）可得,300 名学生中期末成绩等级为不及格的有26人,等级为及格的有120 人,等级为中等的有88人,等级为良好的有60 人,等级为优秀的有6 人.平时成绩的众数为80、均值为81.06333、中位数为80;卷面成绩的众数为64、均值为67.09333、中位数为67;期末成绩的众数为67.2、均值为71.28167、中位数为70.5、标准差为9.624153、变异系数为0.1350158.由此可见,各学科成绩都无异常数据,平时成绩、卷面成绩和期末成绩的三维散点分布如下图1 所示,期末成绩分布情况如图2所示.

图1 各学科平时成绩、卷面成绩和期末成绩的三维散点

图2 期末成绩分布情况

且各学科的期末成绩分布图及对比图如图3和图4所示.

图3 各学科期末成绩分布情况

图4 各学科期末成绩对比情况

2 聚类分析

2.1 聚类分析原理

聚类分析是一组将研究对象分为相对同质的群组统计分析技术,它是目前一种流行的探索性分析方法.［2］在分类过程中,我们不必预先给出一个分类标准,它便能从样本数据出发,自动对数据进行分类处理.聚类分析所采用的具体算法不同,其所得到的结论常常也不同.因此,不同研究者对于同一组数据进行聚类分析,所得到的聚类结果未必是一样的.

目前常用的聚类分析算法有层次法、划分法、基于模型的方法、基于密度的方法等.其中,划分法是聚类分析算法中最简单、最基本的方法,并且k-means 算法是其中一种经典的划分法,［3］它的输入为聚类个数k和包含n个数据对象的数据库,输出为满足方差最小标准的k个聚类,并对学生的成绩情况构建一个检测模型.［4］kmeans 首先接收输入量k,然后将n 个数据对象划分为k 个聚类以便使得所获得的聚类满足,最后聚类结果为同一聚类中的对象相似度较高,而不同聚类中的对象则相似度较低.

2.2 聚类分析流程

K-means 聚类算法以其简单的特性当前已得到了广泛应用,它的基本实施步骤如下:［5］

（1）从n 个数据对象中任意选择k 个数据对象作为初始的聚类中心;

（2）根据每个聚类对象的均值（即中心对象）,计算出每个对象与这些中心对象之间的距离,并根据最小距离来重新对相应的对象进行划分;

（3）重新计算每个聚类的均值（即中心对象）;

（4）计算标准测度函数,当满足一定条件,如果函数收敛,则终止算法;如果条件不满足则回到步骤（2）继续重复进行.

其处理流程如图5所示:［6］

图5 k-means算法流程

3 分析结果

3.1 探索性数据分析结果

理学、工学和文学三类学生的平时成绩、卷面成绩和期末成绩的平均值比较如图6所示.

图6 各学科成绩平均值对比

3.2 聚类分析结果

使用k-means 算法对平时成绩和卷面成绩的聚类分析结果如图7所示.

图7 K-means聚类分析结果

4 统计数据分析结果

通过对研究样本数据的探索性分析得出,由图2“期末成绩分布情况”呈现出该校理学、工学和文类三类学科学生《高等数学》课程的期末成绩及格人数占比远多于不及格人数,说明该校的理学、工学和文类三类学科学生《高等数学》的学习整体情况良好.从图3“各学科期末成绩分布情况”和图4“各学科期末成绩对比情况”可知,理学学生的期末成绩比工学和文学学生好,又从聚类分析图6“各学科成绩平均值对比”和图7“ K-means 聚类分析结果”可知,虽然文学的卷面考试成绩最不理想,但平时成绩比工学类学生好,说明该校的文学学生在《高等数学》课堂教学中表现较好.且理学学生《高等数学》在平时成绩、卷面成绩和期末成绩都表现最好,跟理学学生本身就具有已有扎实丰富的数学知识是紧密相连的.最后,从聚类分析结果看,该校学生的《高等数学》课程的卷面考试成绩在一定程度上将受到平时成绩的影响,一般情况下平时成绩表现好的学生,卷面成绩一般较高.

结 语

学生《高等数学》成绩分析的数据,提取有价值的信息对指导高校数学教学方法地改进及培养学生具有重要的价值.针对W 高校教学改革的需求,本研究对该高校学生高等数学成绩进行探索性和K-means 聚类分析,挖掘相关信息,获取一些重要的结论,对提高学生的学习效率,改进教师的教学方式,也为课程教学改革指明一定的方向.第一,明确《高等数学》在大学各学科教育教学中的重要地位.教师需认清《高等数学》这门课程在理工科、文科类教育教学中的重要地位.《高等数学》抽象的教学内容,严谨的推理,大学生在某种程度上有种不适应,［7］在加强理论知识学习的同时,在实际的教学过程更需要注重是培养学生数学思维和核心素养,需要培养高技术的人才,因此应该将数学知识与各学科专业对接,紧密相连,应用于实践,体现数学在生活中的重要地位.第二,改进课堂教学的有效性策略.就目前的《高等数学》教学过程中理论与实际生活严重脱节,忽视了不同学科专业对数学知识的需求,扼杀了学生的应用能力和创新能力.因此,教师要积极鼓励学生参与数学建模,创新创业项目,要对不同数学基础,不同学科学生的数学基础因材施教,学以致用.第三,明确学生主体地位.为提高学生的主动性和积极性,学习动机对学习成绩的高低有着直接的关系,［8］教师应该主导学生主动参与到课堂讨论、交流.案例选取贴近不同类别专业,贴近生活实际,多使用问题情境式教学.第四,完善学习评价机制.对学生成绩的科学评价,摒弃唯分数论,可以实行自主考核和评价,更多的需注重平时课堂的表现与参与度,改变课程学习的评价机制,激励,唤醒学生学习数学的激情,体会成功的喜悦.