基于张量的互质面阵信号处理方法

饶伟，桂宇风，李旦

（1.南昌工程学院信息工程学院，江西 南昌 330099；2.复旦大学信息科学与工程学院，上海 200433）

1 引言

波达方向（DoA,direction of arrival）估计作为阵列信号处理领域的一个主要研究方向，广泛应用于通信、雷达、声呐等领域[1]。绝大多数子空间类DoA 估计方法[2-4]最初是针对均匀线性阵列（ULA,uniform linear array）结构提出的，且为避免出现角度模糊问题，相邻阵元间距需小于或等于载波半波长。在物理阵元总数和阵列结构确定的情况下，相邻阵元间距小意味着阵列孔径小，此时难以获得更好的DoA 估计性能。为此，人们提出了一些具有高自由度或大孔径的非均匀线性阵列结构，例如嵌套阵列[5]和互质阵列[6-8]。嵌套阵列中包含一个相邻阵元间距较小的子阵（称为密集子阵），其存在较严重的互耦效应，这给信号参数估计带来了一定的负面影响。为解决这个问题，文献[6]提出了一种互质阵列，它由阵元数分别为M和N的2 个ULA 组成，且这2 个ULA 中相邻阵元间距分别为和，其中，λ为载波波长，M和N为互质整数。特别地，文献[6]证明了仅使用M+N− 1个物理阵元便可获得O(MN) 的自由度（DoF,degree of freedom）。随后，文献[7-8]对互质阵列进行了更深入的研究，从而进一步提升了阵列自由度。

上述均匀和非均匀线性阵列均为一维阵列，一般情况下只能估计信号一维DoA。为实现二维DoA估计，众多学者将针对ULA 的传统子空间类方法推广到二维领域，提出了二维MUSIC（multiple signal classification）算法、二维ESPRIT（estimation of signal parameters via rotational invariance technique）算法、二维传播算子（PM,propagator method）[9-12]等，且主要应用于均匀矩形阵列（URA,uniform rectangular array）、L 型阵列、圆形阵列等传统的二维阵列结构。与绝大多数传统的一维阵列相似，受相邻阵元间距不超过载波半波长的限制，这些二维阵列的孔径也较小。与之形成鲜明对比的是，近年来提出的二维互质面阵（CPPA,co-prime planar array）结构[13]具有大阵列孔径的优良特性，受到众多学者的关注[13-16]。互质面阵由2 个稀疏的URA 组成，2 个URA 中相邻阵元间距为载波半波长的互质整数倍，且均大于载波半波长[13]。在该阵列结构下，文献[13]提出了一种基于二维MUSIC 的阵列信号处理方法，用于信号二维DoA估计。文献[14]在文献[13]的基础上，利用降维转换将频谱函数的维度从二维降低到一维，从而减少了算法的计算复杂度。文献[15]针对互质面阵引入二维PM，使算法的计算复杂度得到了进一步的改善，但在低信噪比或少快拍数的情况下其信号DoA 估计性能不佳。上述文献报道的二维互质面阵及其相应处理方法的优势在于其可通过增加相邻阵元间距以获取大阵列孔径，从而提高信号处理效果，但不足之处在于需要同时借助2 个URA 的独立工作来消除DoA 估计值中出现的相位模糊。即2 个URA 相互独立地采用文献中所提出的方法对相同入射信号进行二维DoA 估计。这是因为，2 个URA 的相邻阵元间距均大于载波半波长，导致它们的DoA 谱估计中均存在“伪峰”，为了去除“伪峰”，就需要借助2 个URA 中相邻阵元间距为互质整数倍的关系，对这2 个URA 的估计结果进行比对处理。因此，这些方法虽然具有大阵列孔径的优点，但同时牺牲了阵列一半以上的自由度，即其所能识别处理的入射信号数小于互质面阵阵元总数的一半。虽然文献[16]对互质面阵结构进行了进一步优化，提出了广义互质面阵结构以保证其2 个URA 的阵元数相等，但受到阵列信号处理方法的限制，其自由度也只是被提升至阵元总数的一半。此外，一维互质阵列及其处理方法主要用于提高阵列自由度，而二维互质面阵及其处理方法主要用于提高阵列孔径但牺牲了阵列自由度。

为了在保留大阵列孔径优势的前提下提高二维互质面阵的自由度，本文借助张量代数提出了一种新的阵列信号处理方法。首先将互质面阵中所包含的2 个URA 均划分成若干个重叠子面阵，并将这些子面阵的接收信号组合成一个张量；然后对这2 个URA 所对应的2 个接收信号张量进行互相关操作，并将结果处理成一个虚拟阵列的接收信号张量。分析结果表明，利用所提方法可将一个具有2L2− 1个物理阵元的互质面阵转换成一个具有个阵元的虚拟稀疏非均匀面阵，从而大幅提高了阵列自由度。为避免使用二维谱峰搜索，本文给出了采用张量分解从虚拟面阵信号张量中获取信号二维DoA 的方法。与文献[13-16]报道的互质面阵信号处理方法相比，所提方法将阵列自由度从L2提升至，并具有更好的信号波达角估计性能及较低的计算复杂度，仿真结果证明了所提方法的有效性。

2 张量基础

张量代数，也称为多线性代数，是经典线性代数（矩阵代数）的自然拓展，刻画的是多变量之间线性关系的数学理论[17]。如果把矩阵视为一个具有2 个指针索引(r,c)的二维（二阶）数组，其中r和c分别指向矩阵的行和列，那么张量就是一个具有3个或3 个以上指针索引(i,j,k,…)的多维（高阶）数组。有3 个索引的三维数组称为三阶张量。如果数组索引有N个，那么这个（超体积）数组称为N阶张量。对于一个高维数据，如果仍以矩阵化的形式对其进行表示、分析和处理，就会丢失甚至破坏高维数据中可能存在的结构信息。与之形成鲜明对比的是，张量的高维特性赋予了其在表示高维数据时的自然性和结构上的紧凑性，若配合张量域的高维运算及张量分解对高维数据进行分析和处理，则可有效发掘和利用高维数据中存在的结构信息，从而提高高维阵列信号处理性能[17-18]。因此本文将采用张量代数理论对互质面阵信号进行分析和处理，以期提高信号处理效果。

下面简述本文使用的张量代数运算算子[17-20]。

其中，⊗表示Kronecker 乘积运算。

3 阵列信号张量处理方法

3.1 阵列结构

图1 二维互质面阵结构（L=3）

在图1 所示的互质面阵结构下，文献[13-16]提出了不同的阵列信号处理方法，但这些方法均需令2 个稀疏URA 独立工作，即2 个稀疏URA 相互独立地对相同入射信号进行DoA 估计。这是因为2个稀疏URA 的阵元间距均大于载波半波长，因此其DoA 估计值中都存在角度模糊，只有通过比对这2 个稀疏URA对相同入射信号的DoA估计值（含模糊角度），再借助2 个稀疏URA 阵元间距互质的关系，才可消除角度模糊。这就意味着，这些处理方法可识别的入射信号数不到阵元总数的一半。因此，虽然二维互质阵列的大孔径带来了DoA 估计性能的提升，但是其现有的信号处理方式却牺牲了一半的阵列自由度。

为了提高互质面阵的自由度并进一步提升其信号参数估计性能，接下来将借助张量代数对其接收信号进行全新的张量建模和处理。

3.2 阵列信号的张量模型

首先，如图2 所示，将互质面阵中的一个稀疏URA 划分成N x×Ny个大小均为L x×Ly的子面阵，且L=N x+Lx− 1=N y+Ly− 1，并以第(1,1)个子面阵作为参考子面阵。

图2 稀疏URA 中的参考子面阵及x 和y 方向上的子面阵

至此，本文已经将互质面阵中的2 个稀疏URA的接收信号数据处理成了2 个具有明确物理含义的四阶张量。接下来，对其进行求互相关等操作，即利用其高维二阶统计量来提高阵列自由度。

3.3 虚拟阵列的生成

受文献[5-6]的启发，本节将利用张量代数运算对互质面阵信号的“高维二阶统计量”进行处理，以期获得一个具有高自由度及大孔径的虚拟阵列的接收信号张量。对张量 X1和X2求互相关张量得

令JD为D×D的互换矩阵，其反对角线上元素均为1，其他元素均为0。又因为ULA 存在共轭倒序不变性[20-23]，即

因此，对张量R 的共轭R∗的每一维度的元素指针顺序进行取反操作，可以获得一个新张量，即

图3 虚拟稀疏非均匀面阵结构（L=4，L x=Ly=3，Nx=Ny=2，M1=5，M2=4）

利用上述提出的方法对互质面阵信号进行处理后，原阵列（如图1 所示）接收信号张量1X 和X2转换成为一个虚拟的稀疏非均匀面阵（如图3 所示）接收信号张量。接下来，对该虚拟面阵的可辨识性（即可处理的入射信号数或自由度）进行分析，并给出如何利用张量分解从中估计出入射信号二维DoA 的方法。

3.4 虚拟阵列的可辨识能力分析

3.5 基于张量分解的信号DoA 估计

其中，Ψ1y=diag{Φ11,Φ12,…,Φ1K}，Φ1k=ejπM1vk为第k个入射信号入射至第一个稀疏URA 时，其在y方向上相邻阵元之间的相位差。

同理，可以获得Ψ2x=diag{Θ21,Θ22,…,Θ2K}，以及Ψ2y=diag{Φ21,Φ22,…,Φ2K}，即得到K个入射信号入射至第二个稀疏URA 时，其在x和y方向上相邻阵元的相位差。

文献[13]指出，当阵元间距大于载波半波长时，阵列孔径较大，接收信号估计性能较好，但会出现角度模糊问题。而二维互质阵列中的2 个稀疏URA 的相邻阵元间距均大于载波半波长，因此从1xΨ和Ψ1y中估计的入射信号DoA 值均存在角度模糊，从Ψ2x和Ψ2y估计的入射信号DoA 值也都存在角度模糊。

但文献[13]同时还指出，在使用二维互质阵列进行DoA 估计时，其包含的2 个URA 阵元间距之间的互质特性可用来消除角度模糊。因此，也可以利用该特性消除Ψ1x、Ψ1y、Ψ2x、Ψ2y中存在的角度模糊，具体方法如下。

首先，分别取出Ψ1x、Ψ1y、Ψ2x、Ψ2y对角元素的相位α1k、β1k、α2k、β2k，且表示为

其中，k=1,…,K，α1k、β1k、α2k、β2k均为含有角度模糊的相位观测值，且均在[−π,π]范围内。

特别地，当M1=M2=1时，即相邻阵元间距为载波半波长时，k1x=k1y=k2x=k2y=0，即不包含角度模糊，此时入射信号的俯仰角和方位角可通过式(22)求得。

当M1=M2＞ 1时，方位角和俯仰角估计值可能出现“模糊”现象[13]，即k1x、k1y、k2x、k2y的值不为零，但此时文献[13-16]中的解模糊方法也适用于式(21)，即

4 仿真结果分析

将所提方法与文献[13-16]中的方法进行仿真对比研究，且将互质阵列的克拉美劳界（CRB,Cramér-Rao bound）[14]作为参考。需要注意的是，文献[13]和文献[16]的区别在于阵列结构，而它们所使用的阵列信号处理方法是相同的，且本文采用的是文献[16]的阵列结构。

入射信号DoA 均方误差（RMSE,root mean square error）表示为

4.1 所提方法阵列自由度验证

图4 所提方法的DoA 估计结果

从图4 中可以看出，与理论分析一致，本文所提的具有37 个自由度的方法可以成功辨识出这36个信号（物理阵元仅为31）。

在该仿真条件下，互质面阵共包含2 个大小均为4 ×4 的稀疏URA。由于文献[13-16]中方法均需令2 个稀疏URA 独立工作。因此，在该阵列结构参数情况下，文献[13-16]中方法无法完成这36 个入射信号的DoA 估计。具体原因分析如下。

文献[13-14,16]中均采用MUSIC 类方法，在该仿真条件下，其每个URA 大小均为4 ×4，共16 个阵元。按照空间谱估计理论可知，每个URA接收信号协方差矩阵大小为16 ×16 。对其进行特征值分解可得到16 个特征值，因此其最多只能处理15 个入射信号。相似地，文献[15]采用FM 对互质面阵中的2 个稀疏URA 接收信号分别进行DoA 估计，因此需要对每个稀疏URA（大小为4 ×4）阵列流型矩阵进行分块处理。而该阵列流型矩阵大小为16 ×36 （对应16 个阵元和36 个入射信号），但FM 要求阵列流型矩阵的行向量数多于列向量数，故此时算法失效，即该算法只能处理15 个入射信号。

可见，在自由度提升方面，所提方法显著优于文献[13-16]算法。

4.2 信号DoA 估计性能对比

对各方法的DoA 估计RMSE 性能随信噪比及快拍数变化情况进行仿真实验对比。假设有2 个远场窄带不相关信号入射至阵列，其DoA 分别为(θ1,φ1)=(28◦,31◦)，(θ2,φ2)=(58◦,64◦)，固定快拍数为200，蒙特卡洛数为500，信噪比从−10 dB变化到20 dB，其他条件与4.1 节相同。各方法的RMSE 如图5 所示。可以看出，所提方法具有最佳的RMSE 性能，且随信噪比的变化较平稳。此外，其他方法在较低信噪比下的RMSE 性能并不理想，其中文献[15]采用FM，性能最差，这是因为低信噪比可能造成解模糊失败（即伪峰与伪峰的距离过近，被误认为是2 个真实的谱峰[13]），而所提方法由于具有较高的阵列自由度因此表现较优。

图5 RMSE 随信噪比变化的结果

固定SNR 为5 dB，对比各方法RMSE 性能随快怕数变化的情况。快怕数从100 变化到800，则各方法的RMSE 性能如图6 所示。由图6 可知，所提方法同样具有最优的RMSE 性能。

图6 RMSE 随快怕数变化的结果

由实验结果可知，和文献[13-16]的方法相比，所提方法具有最优的信号DoA 估计性能，且在信噪比较低或快拍数较少的情况下，其优势更加明显。

4.3 计算复杂度对比

在阵列物理阵元总数变化的情况下，利用各方法的平均执行时间对它们的计算复杂度进行仿真对比。仿真的硬件条件为Intel(R) Core(TM)2 Quad CPU Q9550 @2.83 GHz，6 GB RAM。仿真软件为MATLAB2016a。其他仿真条件设置如下。快拍数为500，信噪比为−5 dB，文献[13-14,16]中网格搜索步长均设置为0.000 2，蒙特卡洛数为100；互质面阵结构设置为M1=6，M2=5，L从3 变化到7，对应的阵列物理阵元总数分别为17、31、49、71、97。假设有2 个远场窄带不相关入射信号，其DoA分别为(θ1,φ1)=(20◦,30◦)，(θ2,φ2)=(50◦,60◦)。各方法平均每次运行所需的时间随物理阵元数变化结果如图7 所示，各方法RMSE 随物理阵元数变化的结果如图8 所示。

由图7 可知，由于所提方法不需要二维谱峰搜索，因此表现出仅次于文献[15]方法的良好的系统实时性，但需注意的是文献[15]方法在低信噪比或少快拍数的情况下信号估计性能较差（如前实验结果所示）。此外，由图8 可知，在不同物理阵元数的情况下，所提方法同样具有最好的RMSE 性能。

图7 运行时间随阵元总数变化的结果

图8 RMSE 随物理阵元总数变化的结果

5 结束语

本文提出了一种具有高自由度的互质面阵信号的张量处理方法。该方法可将一个由2L2−1 个物理阵元构成的互质面阵转换成一个由个阵元构成的虚拟稀疏非均匀面阵，从而大幅提高了阵列自由度。此外，本文还给出了利用张量分解从该虚拟阵列接收信号张量中获取信号二维DoA的方法，从而避免了二维谱峰搜索，降低了计算复杂度。理论分析和仿真实验验证了所提方法的有效性。