空时分数阶Burgers方程的新精确解

黄春

（四川职业技术学院 教师教育系，四川 遂宁 629000）

分数阶偏微分方程是由整数阶微分方程推广而来,它能更准确地描述实际现象和深刻反映物体内部的性质.分数阶偏微分方程在流体力学、等离子物理学、生物学、通信、化学等许多领域有着广泛的应用.因此分数阶偏微分方程的精确解和数值解对于研究现实生活中的非线性现象有着重要意义.构建分数阶偏微分方程精确解的方法主要包括：exp-函数法[1-2],(G'/G)-展开法[3-4],首次积分法[5-6],Riccati函数展开[7-8]等.

本文拟用Riemann-Liouville分数阶导数[9]与Riccati函数展开法相结合,构建空时分数阶Burgers方程精确解,该方法简洁高效.文中的分数阶微分算子是修正的Riemann-Liouville分数阶导数：

其中Γ(·)为Gamma函数,定义为Riemann-Liouville分数阶导数具有如下性质：

1 方法描述

给定分数阶偏微分方程：

步骤1 作分数阶复变换

其中K,L为常数,方程(4)转化为只含变量ξ常微分方程

步骤2 假设方程(5)有如下形式的解：

其中Ф=Ф(ξ)满足如下形式的Riccati方程

这里的σ为任意常数,ai(i=0,1,2,...,n)为待定系数.正整数n可由齐次平衡原则确定.

根据常数σ的不同取值,确定如下三种类型的解：

(1)当σ＜0时,

(2)当σ＞0时,

(3)当σ =0时,

步骤3 将(7)式和(6)式代入(5)式后合并Ф的同幂次项,得到关于ai(i=1,2,....,n)的代数方程组,利用Maple计算参数,进而得到原方程不同类型的精确解.

2 运用与结果

考虑如下的空时分数阶Burgers方程[10]：

其中ω,η是常数,x表示空间位置,t表示时间.

对方程(9)作复变换,原方程转化为整数阶常微分方程：

其中C为积分常数,平衡方程(10)中的u2和u',得n=1.

将(11)式和(7)式代入(10)式,令Фi的系数为0,得到关于a0,a1的代数方程组,借助Maple软件得到a0,a1,σ的值；

于是得到原方程在不同情形下的解：

情形1 当σ＜0时,方程(9)有如下孤立波解：

情形2 当σ＞0时,方程(9)有如下周期波解：

情形3 当σ=0时,方程(9)有如下有理函数解：

图1 孤立波解u1(ξ)

图2 孤立波解u2(ξ)

图3 周期波解u3(ξ)

图4 周期波解u4(ξ)

为了更直观的理解这些解,借助Maple软件得到部分解的数值模拟图像如图1-4所示.系数α==1,ω =1,C=1,K=1,L=4,图 1、图 2分别为孤立波解 u1(ξ)、u2(ξ).系数=1,ω =1,C=1,K=1,L=1,图3、图4分别为周期波解u3(ξ)、u4(ξ).

3 结论

文中借助修正的Riemann-Liouville分数阶导数结合Riccati函数展开法构建空时分数阶Burgers方程的新精确解,其中包括孤立波解,周期波解,有理函数解.并对部分解作出三维图示,这些解对于理解复杂的非线性物理现象和分数阶偏微分方程的原理很有帮助,该方法简洁高效,是求解一类分数阶偏微分方程行之有效的方法.