设计概率模型 解决实际问题

杨绪彪

方案设计与决策型问题是先提供一个情境，要求解题者利用所学的数学知识来解决问题。这类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质，应该引起同学们的重视。

例1从-1，2，3，-6这四个数中任取两个数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数y=x图像上的概率是。

【解析】从-1，2，3，-6这四个数中任取两个数，所有可能的结果有12种，每种结果的可能性相同，其中，两数乘积为6的结果有4种。当两数乘积为6时，点（m，n）必定在函数y=6x的图像上，因此P=4=1。故选B。

二、概率与几何知识结合

例2一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字-2，-1，0，1，它们除了数字不同外，其他完全相同。

（1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是。

（2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标;然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机再摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标。如图1，已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-2，0），B（0，-2），C（1，0），D（0，1），请用画树状图或列表法，求点M落在四边形ABCD所围成的图形内（含边界）的概率。

【解析】（1）在-2，-1，0，1中正数有1个，∴摸出的球上面标的数字为正数的概率是14。

故答案为1/4

（2）此问为放回试验。列表如下：

由表知，共有16种等可能结果，其中点M落在四边形ABCD所围成的图形内（含边界）的有（-2，0）、（-1，-1）、（-1，0）、（0，-2）、（0，-1）、（0，0）、（0，1）、（1，0）这8个，所以点M落在四边形ABCD所围成的图形内（含边界）的概率为1/2。

三、概率与其他学科结合

例3如图2所示的电路中，当随机闭合开关S、S、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为。

【解析】共有S1S2、S1S3、S2S3三种情况，其中能让灯泡发亮的有S1S2、S1S3两种情况，所以能让灯泡发光的概率为23。

四、概率与时政结合

例4為了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A.非常了解;B.比较了解;C.基本了解;D.不了解。根据调查统计结果，绘制了如下所示的不完整的三种统计图表。

请结合统计图表，回答下列问题：（1）本次参与调查的学生共有人，n=;

（2）扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是度;（3）请补全条形统计图;

（4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球。若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去。请用画树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平。

【解析】（1）180÷45%=400，所以本次参与调查的学生共有400人，n=1-5%-15%-45%=35%。

（2）扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角=360°×35%=126°。

（3）D等级的人数为400×35%=140（人）。

补全条形统计图为：

（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，

∴这个游戏规则不公平。

（作者单位：江苏省徐州市第三十五中学）