一道三角试题的多种解法

孟一梅

(江苏省泰州市姜堰区罗塘高级中学,225500)

三角形中的线段、角等元素的定值、最值或取值范围问题一直备受高考命题人的青睐.这类问题往往设置巧妙、形式莫测,同时解决此类问题的思维方式多变,解决方法也精彩纷呈,题目难度较大．本文以一道三角试题的多角度思考为例，与大家共同体验数学问题求解的奥秘.

一、试题呈现

二、解法探究

视角1边化角、弦化切,由条件消元

解法1(利用三角法边化角)

因为AD=BD,所以∠BAD=∠B,且∠B为锐角,tanB>0.

评注由条件等量转换,将问题转化为求∆ACD两边之比是本题成功获解的关键一步,需要学生具有强烈的解三角形意识.其后,根据正弦定理边化角、弦化切,考查学生的三角运算能力与目标意识.最后,利用条件代入消元,结合基本不等式确定两线段比值的范围,有效考查了学生对函数最值问题处理的综合能力.

解法2(利用面积法边化角)

由AD=BD,知∠BAD=∠B,且∠B为锐角. 利用面积法及正弦定理,可得

下同解法1.

视角2参数法

评注本解法将所求量用参数λ表示,以三角形的面积为“桥梁”,运用参数与三角函数分离的方法,结合已知条件消元转化为一元函数最值问题,使λ的确定范围轻松获得.

视角3解析法

解法4(几何直观,注重表征)

评注本解法由正切联想斜率,运用数形结合的思想使建系求解法自然生成.

解法5(数形结合与方程思想)

视角4几何法

解法6(化斜为直)

评注通过添加辅助线,将斜三角形中的角放置到直角三角形中,实现了正切值的直观表示,几何味更浓.