一种单自由度柔顺铰链的优化设计

王 欣

（佛山职业技术学院，广东 佛山 528137）

柔顺机构是在驱动力作用下，通过自身柔性构件的弹性变形实现力和能量传递，并获得部分或全部运动的一类机构[1]。相对于传统的刚性机构，柔顺机构在运动过程中没有摩擦与磨损，体积小、质量轻、加工简单、没有装配误差等优势。因此，在精密定位、高速刀具、微夹持操纵等领域应用广泛[2-4]。

张建锐建立了柔顺储能J/S型机构的伪刚体模型，分析了其刚度特性[5]。马力设计了一种3自由度运动平台，实现了纳米级的定位[6]。胡俊峰应用伪刚体模型设计了一种零刚度柔顺微动平台，该机构实现了在0.6mm～1.7mm运动范围内输出力几乎无变化[7]。凌明祥通过柔性梁的动刚度矩阵与矩阵位移法相结合[8]，建立了柔顺机构的伪静态模型，这种模型可以实现静/动力学同时建模[8]。

本文应用柔性梁的动刚度矩阵，建立了一种单自由度柔顺铰链的伪静态模型，分析了其静力学与动力学行为。通过优化柔顺铰链的尺寸，可以得到试用于不同工作状态的柔顺铰链模型。

1 柔顺铰链机构理论模型的建立

柔顺铰链的模型如图1所示，四根柔性梁固定在两端，中间是一个不能忽略质量的运动平台。通过力f使柔性梁产生变形，从而产生了位移u。结构是完全对称的，这可以消除柔性梁变形时产生的x方向平动位移与z方向的转动位移。

如图2所示，在局部坐标系下柔性梁单元有j、k两个节点，每个节点有沿着x、y方向移动和绕着z方向转动三个方向自由度。将梁单元在局部坐标系下所受力与位移用向量的形式表示：

那么在局部坐标系下，节点力与位移的关系为：

Kjk为柔性梁在局部坐标系下的动刚度矩阵：

式中：E为材料弹性模量；I为柔性梁截面惯性矩；ρ为密度 β4=ω2Ljk2ρA/EI；α2=ω2Ljk2ρ/E；R=1-cos（β）×cosh（β）；。将d1～d8关于ω泰勒展开，那么式1将变为：

当柔顺机构中有一些质量不能忽略的刚性构件时，常把其考虑成集中质量，公式6为集中质量的动刚度矩阵，其中m为刚性体质量，J为刚性体转动惯量。

当进行静力学分析时，令ω=0时，此时公式4中只有K0；当进行动力学分析时，应保留ω项，且保留的阶数越高，结果越准确，但是计算量也将增加。在柔性梁较短或结构的固有频率较低时，取ω的平方项就可以满足计算精度。这也解释了传统的动力学模型对结构的高阶频率预测误差较大的原因。

假设参考坐标系为O-XY、jk梁单元在参考坐标系下的受力与位移为：

将梁两端局部坐标系下的力与位移分别转化为相应参考坐标系中的力和位移，则式1变为：

jk梁单元在参考坐标系下的刚度矩阵为：

将式7分块化表示：

式中：Fjkt，j与 Fjkt，k为 jk 梁施加在节点 j、k 上的力；Ujkt，j与 Ujkt，k为 jk 梁单元在 j、k 两点的位移。对于第j个节点，其所受的合外力等于与其相连的梁施加在其上的力之和，用公式表达为：

式中：Pj为j节点所受外力向量；Utj为j节点的位移；F*jt，j与 Fj*t，j为与 j节点相连柔性梁施加在其上的力；n为与j节点相连柔性梁的个数。模型的各个梁受力方向如图4所示，节点A、C、E、G为固定约束，位移为0，故不考虑，其他各节点都等效到节点O（参考坐标系原点）。依据公式11，列出整个模型的方程：

G为柔顺铰链的整体刚度矩阵。当求解结构的固有频率时，只需要求解G的行列式，令det（G）=0，解出ω值即为机构的固有频率。值得注意的是，本模型的柔性梁单元节点有三个自由度，分别是x与y的方向的移动以及z方向的转动。除了这三个振动方向的频率外，其它方向的固有频率本模型不能求解，例如沿x轴的扭转频率。

2 柔顺铰链的优化

柔顺铰链的几何尺寸如表1所示，b是整个模型在 z方向的宽度。弹性模量 E=71GPa，密度ρ=2810kg/m3，泊松比 ε=0.33。利用 SolidWorks对柔顺位移放大机构几何建模，并应用ANSYS对其进行静力学仿真，选用Solid 186单元划分网格，得到的结果验证了模型的正确性。

柔顺铰链的输入力与输出位移关系如图5所示，输入力与输出位移基本呈线性关系，而且随着输入力的增大，输出位移也增加。与有限元仿真的结果对比误差小于3%，说明理论模型能够较好地预测力与位移的关系。有限元[9]的仿真结果如图6所示。

表1 柔顺铰链的几何尺寸

当输入力f=10N，柔性梁的长度变化范围为L=35mm～45mm，柔顺铰链输出位移变化如图7所示。由图可知，随着柔性梁长度的增加，柔顺铰链的输出位移也增加。当柔顺铰链的工作状态是需要大范围的运动时，这种结构是有优势的。但是由于梁长的增加会减小结构的刚度，所以结构的固有频率会降低。

当输入力f=10N，柔性梁的厚度变化范围为t=0.5mm～1.5mm。柔顺铰链输出位移变化如图8所示。随着柔性梁厚度的增加，机构的输出位移将减小。当机构需要完成大范围运动时，应适当减小梁的厚度；当机构需要完成高速运动时，应适当增加梁的厚度。

当输入力f=10N，柔性梁的角度的变化范围为φ=-π/12～π/12，柔顺铰链的输出位移如图9所示。当φ=0也就是图1的状态时，柔顺铰链的输出位移最大；当φ增大或减小，都会导致输出位移的迅速变化，说明柔顺铰链的输出位移对柔性梁角度这一参数是敏感的。当时，机构的输出位移基本为0。

3 结论

本文通过伪静态模型分析了一种柔顺铰链的静力与动力学行为，并用有限元验证，其相对误差小于3%。以柔顺铰链不同的工作状态为目标，通过改变其自身的几何尺寸得到了两种优化后的模型，这两种模型分别适用于大范围运动与高速往复运动。