一致连续性的课堂教学建议

2020-09-02陈彦

现代职业教育·高职高专 2020年2期

[摘要] 现行的数学分析课程教材关于函数一致连续性的内容较为简单，数学专业的学生学起来普遍都感到很困难。为此，结合汕头职业技术学院学生的实际情况，对教学工作进行了一系列的教研教改。通过一致连续性的课堂教学实践，从备课、课堂活动再到课后反馈，最后给出了提高该内容的课堂教学质量的若干建议，旨在加强直观性教学，突出难点、化解难点，培养学生灵活多变的思维方式。

[关键词] 一致连续性;课堂教学;教学建议

[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2020）02-0118-02

一、引言

函数的一致连续性是数学分析课程中的重要而困难的学习内容之一，是比连续更强的一种连续性，它强调函数在区间上的整体性质，刻画了函数f（x）在区间I上变化的相对均匀性，是连续函数的一个重要性质。在微积分学中，它与后继课中“绝对连续”“一致收敛”“绝对收敛”及“等度连续”等概念都有着密切的关系，在其他学科中的应用也极为广泛，关于函数一致连续问题的学习与深入探讨也为理解其他数学知识打下坚实的基础.

函数一致连续的定义及判定是教学的重点和难点，而现行的几种教材[1-4]关于这部分的内容又较为简单，以致数学专业的学生都普遍觉得较难理解、太抽象。故为突出重点、转化难点以提高教学质量，结合我院的实际情况，在课堂教学上做了一些尝试，通过教学实践，提出了一些教学建议与同行们共同探讨，以期起到抛砖引玉的作用。

二、现行教材内容分析及存在的问题

我们现采用的教材为《数学分析讲义》上册[1]，其中函数的一致连续性的主要内容安排如下（其他教材雷同）：一致连续定义;一致连续的否定（非一致连续）;判定函数一致连续性（例题）;康托定理。根据内容及教学大纲我们以往设计的一般教学过程如下。

1.引入一致连续定义

先复习函数连续的定义，由此得到δ的大小与给定的ε及点a的位置有关;当ε暂时固定时，得到δ=δ（a），由于a的变化得到无穷多个δ=δ（a）>0，再提出寻找通用的δ（若通用的δ存在），从而给出一致连续的定义。

2.导出一致连续的否定

通过一致连续的定义给予否定并列表对照，直观展示如下：

指出连续与一致连续的本质区别与联系，以加深对概念的理解。

3.通过例题学习判定函数一致连续性的方法

4.讲述康托定理

它是闭区间上连续函数的又一性质，也是一致连续的一个判定定理，但对不是闭区间上连续函数失效。

当我们讲解至例题时会发现：只能用定义来求解，没有其他性质或判定方法。因教材这部分内容少且方法很单一，致使学生对一致连续的含义及判定方法难以掌握。

三、课堂教学反馈

在課堂教学师生互动的环节中，学生提出以下值得思考的几个问题。

1.学习函数一致连续性的目的动机是什么？

2.一致连续性有没有几何意义可帮助我们较直观地理解该定义？

3.判定一致连续性一般用定义都是较复杂的，是否有其他判定定理或方法？

四、教学建议

针对以上这些反馈问题，进行了集体备课，查阅相关书籍、文献，共同研究探讨，得到一致的意见：扩充内容，改进方法;制订了三个“1”的教学措施，第一个1是“突出学习函数一致连续性的目的动机”，第二个1是“补充一致连续的几何意义”，第三个1是“增加一致连续性的判定方法”。一句话就是加强直观性教学，以突出难点、化解难点，培养学生灵活多变的思维方式。具体如下谨供参考并敬请批评指正。

（一）学习一致连续性的目的动机

下面预设了几个问题，采用问题式教学方法引入。

[问题1]如图1，设f0（x），f1（x），f2（x），…，f5（x）都是区间I的连续函数，那么除端点外它们有什么主要区别呢？

答：除f0（x）外，其他几个函数曲线都呈均匀变化态势（即当自变量变化很小时，引起函数值的变化表现在图像上是“平缓”的变化），故学习函数一致连续性的目的就是研究其均匀连续性。

[问题2]那么引起f0（x）在I上不均匀连续的原因又是什么？

答：在接近区间右端点处，函数曲线出现了“突变”（即使当自变量变化很小时，函数值的变化反映在图像上并不是“平缓”的而是突然“陡峭”），即曲线在该点附近的切线接近与x轴垂直（斜率的绝对值突然增大至无穷大），而其他点则不然，这就破坏了均匀连续性，称非一致连续性。

注：值得注意的是半圆f1（x）虽然在端点处切线与x轴垂直，但它是平缓变化来的而不是突变来的，故它仍是一致连续函数。

由此可知：若当x接近于某值x0时，函数图像接近垂直于x轴，则函数在以x0为端点的区间可能非一致连续，否则必一致连续;而在判定非一致连续时，关键要寻找的破坏点就是该点x0（x0可以是-∞或+∞），这为下一步补充一致连续性的判定方法做好准备。

（二）一致连续的几何意义

在给出一致连续的定义后，及时补充一致连续的几何意义。我们知道，一致连续函数的实质是：只要自变量|x1-x2|<δ，则函数值|f（x1）-f（x2）|<ε。故作一根管子（如图2）及一致连续函数图像（如图3），几何意义是：存在这样的一根管子，可以在一致连续函数曲线上平行移动。

（三）一致连续性的判定方法

函数一致连续性的判别方法有很多，近期有文献[5]分十二个方面，系统归纳、分类总结了连续函数一致连续性的判别方法，分类给出了函数一致连续的充分或充要条件，弥补了相关文献资料关于函数一致连续性问题判别方法的一些不足，大大简化并拓宽了函数一致连续性的可判别范围;文献[6，7]主要给出有限区间及无限区间一致连续的极限判别法;文献[8]证明了函数一致连续性的导数判别法和极限判别方法;文献[9]讨论了一致连续性和导数的关系，进而给出应用实例和判断函数一致连续性的充分必要条件;文献[10]介绍了几种函数在无限区间上不一致连续的判定法。那么，根据我院数学专业大纲要求，我们选择增加了如下函数一致连续性的两种判定方法。

1.可导连续函数的一致连续性

五、结论

基于一致连续性的课堂教学实践，从内容的分析及教学设计到课堂教学中学生的反馈，再到教学质量分析，笔者做了深入思考并进行了一系列相应的教改，取得了一定的成效，最后给出了提高该内容教学质量的若干建议。

参考文献：

[1]刘玉涟，傅沛仁等.数学分析讲义（上册第六五版）[M].北京：高等教育出版社，2019.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（上册第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]同济大学数学院.高等数学（上册第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4]舒斯会.数学分析选讲[M].北京：北京大学出版社，2007.

[5]张歆秋，栗会平，张国强，等.函数一致连续性的判别方法[J].考试周刊，2013（9）：67-70.

[6]兰瑞平.对函数一致连续性的讨论[J].廊坊师范学院学报（自然科学版），2011（6）：21-23.

[7]姜雄.关于函数在任意区间上一致连续与非一致连续的条件讨论[J].辽宁科技学院学报，2005（2）：35-37.

[8]李启龙.判断函数一致连续性的几种方法[J].数理化研究，2012（6）：46.