从“经历”到“感悟”让数学思想在课堂落地生根

黄英

数学思想是数学学科发展的精髓，也是研究数学的重要依托。在数学知识的学习中，教师要引导学生去感悟数学思想，并以此为根基，演化为具体的策略促进数学问题的解决。在这样的学习过程中，学生对于数学思想的认识将更加深入，也将进一步提升他们的数学素养，让学生具备独立学习数学的基本能力。

一、感受数学思想，认识到数学思想的作用

数学思想是隐性的，需要结合学习过程去学习，所以数学思想的教学不同于基本知识和基本技能的教学，能通过讲解和模仿等过程直接传递给学生，而是要让学生结合自己的经历和体会自己去感知、抽象和领悟。在数学课堂教学中，只要是涉及数学思想的内容，教师要推动学生运用语言来描述自己的感受、体会，将隐性的东西表面化，这样可以推动学生更好地认识数学思想，认识到数学思想对于数学学习的巨大作用。

例如，在教学《转化的策略》一课时，我首先出示例题中的图形，让学生想办法算出两个图形的面积是多少。面对两个不规则的图形，学生很自然地想到了将图形割补和移动的办法，将两个图形都转化为长方形来计算其面积。在学生交流了自己的做法之后，我引导学生总结为什么可以这样做，学生指出在操作的过程中，图形的面积不变，只是形状发生了变化，而运用切割和平移的办法之后，将原来的不规则图形转化为规则图形，可以让问题快速得到解决。在总结解决问题的过程中，学生对于什么是转化、转化有什么原则以及有什么作用有了深刻的认识。在此基础上，我引导学生回忆之前的学习中有没有用过这样的策略，学生首先想到的是几何图形的面积推导过程。比如，平行四边形的面积是将平行四边形转化为长方形来计算的，梯形和三角形是转化为平行四边形来计算的。在肯定了学生的意见之后，我引导学生跨越图形的范畴去回忆其余领域有没有运用转化来解决问题的实例，学生想到了异分母分数转化为同分母分数的加减法计算，想到了将分数除法转化为分数乘法来计算的例子，还有学生回忆起小数的计算中也有一些将乘法转化为除法以及将除法转化为乘法的巧算方法，这些回忆都推动了学生对转化的认识，让学生体验到转化是一种广泛使用的数学方法。在这个环节之后，我还以“曹冲称象”的实例来强化学生的认识，学生在这样不同领域不同范畴的转化的实例“熏陶”之下，对于转化策略的体验异常深刻。

有了足够的体验之后，学生无须教师过多强调就能感受到转化的作用，从而将转化策略深深印到脑海中，形成转化的思想，一旦外界条件刺激，学生就能调用这些经验来解决问题，这说明学生已经在脑海中形成了转化的思想。实际教学中，教师要强化数学思想的教学，帮助学生巩固认识，让学生形成深刻清晰的思想意识，为学生学习数学思想打下坚实的基础。

二、提炼数学思想，纳入数学体系范畴

鉴于数学思想的内隐性，在数学教学中教师要通过多种形式的学习活动来促进学生领悟到数学思想，体验数学思想为数学学习带来的便捷之处，从而让学生提炼出数学思想，甚至用语言来描述出数学思想，将数学思想纳入数学体系中。为达成这样的目标，教师要善于推动学生去观察和比较、整理和归纳，让学生在寻找共性过程中加强对数学思想的体会。

例如，在教学《转化的策略》第三课时，教师出示了[12]+[14]+[18]+[116+132]的算式，引导学生画一个正方形表示“1”，然后在正方形中将所有的加数表示出来。在观察之后学生发现，这样的加法算式可以转化成减法来计算，并且因为不需要通分，所以计算比较简便。此后教师又出示了1+3+5+7+9+11的式子，让学生想想可以怎样来简化这样的式子。学生做了思考，想到了将这些加数配对，每一对的和都相等，在肯定学生想法的基础上，教师用画图的方法将这个式子表示出来，算式中的“1”就画一个点，“+3”就在1的周围点上三个点形成一个2×2的正方形，“+5”就在原来的正方形外面再增加5个点，形成一个3×3的正方形。在观察教师画图的过程中，学生渐渐有了想法，发现这样的加法可以转化为正方形点的数量来计算，像这个式子就等同于计算6的平方。结合这两个例子，学生对于转化的思想有了更多的体会，而在引导学生交流是通过什么方法来发现这些特殊的问题可以转化时，学生指出画图是关键。在第一个问题中，因为可以用正方形表示1，所有的分数都可以表示出来。第二个问题也是因为画图可以找到将加法算式转化为乘方来计算，而且这些图与算式中的数是吻合的，这就推动学生认识到了数形结合的思想，并感知到数形结合思想在解决数的领域的问题中有重要的作用。

数形结合是一个重要的数学思想，从数学的角度来看，数形结合打通了代数与图形领域的分界，从学习者的角度来看，数形结合可以让学生结合形来认识数，运用数来描述形，这是推动学生数学学习深化的重要途径，也是引领学生数学学习走向广泛的重要数学思想。在实际教学中，教师引导学生比较两个式子计算的共同点，让学生在观察中体会到画图对于计算的作用，学生对于数形结合的思想就有了直观的认识，之后再结合学习来深化理解，数形结合会深入学生的知识体系，并在关键时刻起到重要作用。

三、深化数学思想，提升到自觉应用的程度

在学生认识了数学思想之后，教师要推动学生去应用数学思想解决实际问题，在解决问题的过程中深化对数学思想的认识，让数学思想成为学生数学体系中不可或缺的一部分。即便是一段时间过后，学生将一些数学知识遗忘了，学生的数学技能也退化了，但是这些数学思想已经成为他们骨子里的东西，成为其解决问题的工具，成为学生在面对新问题和新事物时的好奇、探究和质疑的源泉，为他们的发展提供帮助。

例如，在教学《分数乘法》一课时，有这样一个问题：六2班一共有48名同学，在报刊订阅情况的统计中发现，其中有[34]的学生订阅了《语文学习报》，有[23]的学生订阅了《小学生数学报》，那么两种报纸都订阅了的学生最多有多少个？最少有多少个？在独立思考这个问题的时候，学生通过画图、列式计算的方法得出了答案，然后我组织了学生交流，在交流过程中，学生阐述思路：因为知道六2班学生的总数，知道订阅两种报纸的学生是全班的几分之几，所以可用乘法算出订阅两种报纸的各有多少人，而问题指出订阅兩种报纸的最多有多少人，最少有多少人，所以可以假设没有订《语文学习报》的人都订阅了《小学生数学报》，这样全班范围内需要订阅两种报纸的人就最少。反之，如果没有订阅《语文学习报》的人也没有订阅《小学生数学报》，那么订阅两种报纸的人就最多。在这样的思路推动下，学生成功地找出了解决问题的方法，并且通过画图等方法验证了自己想法的合理性。

在这个案例中可以发现，学生的极限思想起到了重要的作用，在审题的时候学生发现，除了两个分数之外并没有提供学生订阅报纸的其他情况，所以要求“最多多少人”和“最少多少人”，就需要学生考虑最极端的情况，而且在这个过程中学生要根据实际情况进行推理，这些都是学生数学思想的自然流露，也是推动学生成功解决问题的关键。

总之，数学思想是学生数学学习中的重要组成部分。在实际教学中，教师要引导学生感悟数学思想，体会数学思想在数学学习中的作用，并强化学生对于思想的描述，加强学生对应用数学思想实例的体会，推动学生数学思想学习的深化。

（作者单位：江苏省南通市小海小学）

（责任编辑 吴磊）