火星大气进入段抗饱和固定时间阻力加速度跟踪制导律设计*

龚有敏，郭延宁，马广富，高新洲

(哈尔滨工业大学 控制科学与工程系·哈尔滨·150001)

0 引 言

随着航天技术的不断发展，人们对于深空的探索欲与好奇心不断驱使着各个国家和组织前赴后继地开展各种深空探索活动。在八大行星中，火星距离地球最近，生存环境与地球最为类似。人类一直寄希望于火星能够给生命提供生存条件，作为人类可持续发展的基地。因此，各个国家将火星探测作为现在深空探测的主要方向之一，火星探测技术引领着深空探测技术不断发展[1-2]。1962年11月1日，苏联的“火星1号”揭开了火星探测的序幕。迄今为止，共有6个国家和组织进行了46次探测火星的尝试[3]，从着陆精度为150km的“火星探路者”到10km着陆精度量级的“火星科学实验室”，火星探测器的着陆精度越来越高，而未来火星探测任务对精度的需求也越来越高，这无疑给火星探测技术带来了很多机遇与挑战[4]。

火星探测器从脱离火星绕飞轨道进入火星大气开始，一般包括大气进入段、下降段和着陆段三个(Entry，Descent and Landing，EDL)阶段[5]。大气进入段为火星探测器着陆整体任务中的第一阶段。由于火星大气稀薄，在进入过程中火星大气能够提供给探测器的气动力非常有限，使得依靠气动力修正不确定性和外界干扰带来的进入误差成为进入段制导的一大难题，同时进入段的精度也直接影响着后续的着陆精度[3,6]。

目前，研究火星探测器在大气进入段的制导方法主要包括了预测—修正制导和跟踪制导[7-10]两大类。预测—修正制导的关键之处是参数建模、约束条件和求解方法。为了满足在线求解的快速性、稳定性与收敛性，需要进行简化处理，这就在一定程度上限制了预测—修正制导的使用。相关研究包括，李毛毛等[11]根据一阶特征模型设计的全系数自适应预测修正制导律，利用时变动态增益变换技术降低了预测误差与制导修正量之间的时变动态增益，并给出了全系数自适应预测修正制导律的收敛性证明。夏元清等[12]详细介绍了预测—修正制导，给出了增加检测点的改进预测制导律。Zheng等[13]在性能指标中加入了光滑处理的精确惩罚函数来设计制导律。该方法无需额外的假设或处理，便能得到稳定的求解，但经验对其具有较大的影响。跟踪制导通常基于阻力加速度跟踪设计制导律，如Furfaro等[14]设计了在有限扰动下的全局稳定多滑模制导律，Dai等[15]利用终端滑模设计了纵向运动的有限时间制导律，闫晓鹏等[16]利用齐次性方法结合干扰观测器设计了有限时制导律。但是，跟踪制导在初始跟踪误差较大时容易出现饱和且存在跟踪误差难以消除的情况。

火星探测器大气进入段的横向运动与纵向运动是能够实现解耦设计的。通常都是利用纵向运动设计制导律，再通过倾侧角反号完成横向制导。目前横程和航向角常用于设计倾侧角反号逻辑，Lu等[17]利用速度设计了二次型的横程阈值，进行倾侧角切换。郭敏文和Christopher W等[18-19]设计了速度的线性函数作为横程阈值。利用横程阈值设计的倾侧角逻辑计算相对复杂且计算量大，增加了宇航计算机的运算压力。夏元清等[12]利用反馈线性化方法将航向角误差选为一阶惯性环节设计反号逻辑。赵振华等[20]将航向角误差阈值设计为常值进行倾侧角的切换。该方法在起始速度较大时易发生倾侧角的频繁反号，从而导致任务失败。

本文研究了阻力加速度的跟踪制导方法。在横向运动中，给出了与速度成线性关系的航向角误差漏斗走廊并设计了倾侧角反号逻辑。与传统的横程漏斗走廊相比，该方法计算简单。与航向角误差等宽走廊相比，该方法能够有效减少大速度情况下的倾侧角符号切换，提高任务成功概率。在纵向运动中，考虑到RBF神经网络对非线性具有很好的逼近作用，本文通过RBF神经网络补偿了倾侧角的饱和问题，结合固定时间控制理论，设计了纵向固定时间阻力加速度跟踪滑模制导律，使得跟踪误差可在有限时间内收敛至0。考虑到滑模控制具有强鲁棒性且积分滑模能够解决传统滑模控制的抖振问题，本文利用跟踪误差设计了积分形式的滑模面，并将跟踪误差以两种不同的形式引入制导律。这种方法一方面能够有效消除抖振，另一方面也能保证在误差较大与较小时均可加快收敛速度。通过数值仿真，验证了本文所设计的横向倾侧角切换逻辑与纵向制导律在大气进入段的有效性，且确保了较高的跟踪精度。

1 大气进入段动力学与问题分析

1.1 大气进入段动力学模型

火星探测器在大气进入段是无动力飞行的，可通过改变倾侧角达到改变探测器位置和速度的目的。将探测器视为质点，可建立探测器的动力学方程如下：

(1)

(2)

L=ρV2CLS/(2m)

(3)

式中，m为探测器质量；S为探测器参考表面积；CL和CD分别为火星大气的升力系数和阻力系数；Bf为探测器的弹道系数；ρ为火星大气密度，定义为如下参考高度rs的函数：

ρ(r)=ρsexp[-β(r-rs)]

(4)

式中，ρs为参考高度处的大气密度；rs为参考高度；β为参考高度的倒数。

1.2 问题分析

火星探测器在大气进入段通过改变倾侧角σ达到改变位置和速度的目的，因此大气进入段的制导律设计即为确定合适的倾侧角σ的变化规律，以满足任务要求，完成对标称大气进入轨迹的跟踪。

由动力学方程(1)可以看出，在大气进入段，探测器的纵向运动和横向运动是解耦的。针对纵向运动所设计的倾侧角σ，可以通过改变其符号改变横向运动，而确保纵向运动不受影响。因此，本文仅针对纵向运动设计制导律，横向制导通过设计合理的反号逻辑对σ反号即可。

2 制导律设计

2.1 横向倾侧角反号逻辑设计

探测器在大气进入段中，为确保探测器的精确着陆，要求大气进入段的末端具有较高的进入精度，即大气进入段不仅要保证纵向运动的精度，还需要保证横向运动的精度，而横向运动的误差可通过改变倾侧角的符号而实现。为此，需要合理地设计倾侧角的反号逻辑，以达到横向运动的精度要求。

本文利用航向角误差进行倾侧角反号逻辑设计，定义航向角误差为

eψ=ψ-ψd

(5)

其中，ψd为期望的航向角。

通过限制航向角误差，在某一满足横向运动精度要求的范围内保证横向运动的精度。当航向角误差超出该阈值，倾侧角σ反号，使得航向角向减小误差的方向运动，进而保证横向运动的精度。

为了保证横向运动精度且避免倾侧角频繁切换，本文利用探测器的速度V设计了航向角误差的阈值，该阈值设计为速度的线性函数：

|ζ|=η1V+η2

(6)

式中，η1和η2为常系数，可根据任务要求进行选取。

式(6)描述的航向角误差阈值为漏斗走廊形式，该阈值走廊在进入段起始阶段探测器速度较大时，阈值相应也较大，航向角误差不会因此频繁到达阈值边界而引起倾侧角频繁反号，进而可减少倾侧角切换的次数。当进入大气进入段末端时，探测器的速度较小，此时航向角误差的阈值也相应较小，能够限制航向角误差在较小的范围内，进而保证横向运动的精度。根据任务需求，合理地选取η1和η2，不仅能够保证横向运动的末端精度，还能减少倾侧角反号的频率。

2.2 抗饱和固定时间纵向制导律设计

2.2.1 阻力加速度数学模型推导

从阻力加速度D的表达式(2)可以看出，阻力加速度D并不显含倾侧角σ，而是与速度V相关。结合动力学方程(1)可知，在D的二阶导数中会出现倾侧角σ。基于阻力加速度的跟踪制导律设计其实研究的就是阻力加速度的变化规律。通过设计相应的倾侧角σ，完成对期望阻力加速度的跟踪，进而实现对火心距r、速度V、经度θ、纬度φ等的跟踪。

对阻力加速度求一阶导可得

(7)

进一步对式(7)求导可得

=f(x)+g(x)u

(8)

(9)

(10)

2.2.2 制导律设计

针对式(7)和式(8)，设计纵向制导律u。在设计之前，先给出两个引理：

引理1[21]：考虑系统(11)，若在平衡点的邻域U⊂Rn内存在Lyapunov函数Vb(x3)满足条件(12)，则系统(11)是在固定时间内稳定到平衡点的，且对于任意的Vb(x3)都能够在固定的时间Tb收敛到0。收敛的时间Tb与初始状态有关且存在上界，满足式(13)。其中，常数α,λ,p,k>0，pk<1且gk>1。

(11)

(12)

(13)

(14)

结合式(7)和式(8)，得到阻力加速度跟踪误差模型如下：

(15)

考虑到探测器的倾侧角存在饱和，即

u=sat(u)+δ

(16)

式中，u为理想制导律输出，sat(u)为制导律的输出，δ=u-sat(u)为控制偏差，sat(u)的定义如下：

(17)

式中，umax为制导律的饱和值。

此时式(15)可改写为

(18)

利用RBF神经网络对g(x)δ进行逼近，由RBF神经网络逼近原理[23]，可给出以下假设。

假设1：对于∀εN>0，存在最优加权矩阵θ*，使得RBF神经网络的逼近误差满足

(19)

其中，Φ(x)为高斯RBF函数。

RBF神经网络对g(x)δ的估计为

(20)

(21)

其中，ξi∈Rn,μi>0为第i个高斯RBF函数的中心和宽度。

为避免滑模控制固有的抖振问题，选取基于跟踪误差的积分滑模面

(22)

定理1：利用式(22)所设计的固定时间跟踪制导律(23)，式(18)中的火星探测器大气进入段阻力加速度跟踪误差可在固定时间内收敛到滑模面，即s=0。然后，系统状态可在有限时间收敛到平衡点，即e1=e2=0，且收敛到滑模面的时间满足式(24)

u=g-1(x){[-f(x)-λ1sigβ1(e1)-

k3sgn(s)}

(23)

式中，控制增益k1>0，k2>0，c1>0，c2>0，ε1>0，0<α1<1，α2>1，k3>εN。

(24)

RBF神经网络自适应律为

(25)

(26)

对式(26)求导得

=s(λ1sigβ1(e1)+λ2sigβ2(e2)+f(x)-

sg(x)δ+sθ*ΦΔ

(27)

根据引理1得证，跟踪误差在固定时间内收敛到式(22)的滑模面。

到达滑模面后，系统变为

(28)

3 数值仿真与分析

为验证本文所设计的横向倾侧角反号逻辑和纵向制导律的有效性，采用文献[24]的参数生成标称轨迹设计仿真实验并进行验证，生成标称轨迹的探测器参数如表1所示。

表1 标称系统参数

生成大气进入段标称轨迹的倾侧角满足：

σ=

(29)

为了验证所设计制导律对于初始跟踪误差的不敏感性，选取的实际探测器的初始参数与标称系统稍有区别，如表2所示。制导律参数如表3所示。

表2 探测器实际参数

表3 本文制导律参数及PD制导律参数

为了对比本文所设计的制导律的优越性，采用与本文相同的倾侧角符号切换逻辑，并采用如下PD制导律：

u=g-1(x)[-f(x)-k4e1-k5e2]

(30)

利用计算机进行数值仿真验证，可得仿真结果如图1～图16所示。

图1 本文制导律阻力加速度跟踪误差

图2 PD制导律阻力加速度变化率跟踪误差

图3 本文制导律阻力加速度变化率跟踪误差

图4 PD制导律阻力加速度变化率跟踪误差

图5 火心距跟踪曲线

图6 火心距跟踪误差

图7 速度跟踪曲线

图8 速度跟踪误差

图9 经度跟踪曲线

图10 经度跟踪误差

图11 纬度跟踪曲线

图12 纬度跟踪误差

图13 飞行路径角跟踪曲线

图14 航向角跟踪曲线

图15 倾侧角跟踪曲线

图16 横向漏斗走廊及航向角误差

从图1～图4可以看出，在存在起始误差的情况下，本文所设计的阻力加速度跟踪制导律能够实现快速、高精度的标称阻力加速度跟踪，最大跟踪误差为0.08872(m/s2)。而PD制导同样能够跟踪上标称的阻力加速度，但是过程中的跟踪误差要远大于本文所设计的方法；从图5～图8、图13可以看出，在纵向运动方向，本文所设计的制导律能够保证火星探测器在大气进入段对火心距r、速度V和飞行路径角γ的跟踪，火心距跟踪的最大误差为-1799m，速度的最大误差为-55(m/s)，飞行路径角的最大误差为-3.745°，而PD制导的跟踪误差要远大于本文所设计的制导律，这从侧面说明了本文所设计的制导律的优越性。

从图9～图12、图14可以看出，在横向倾侧角反号逻辑的作用下，针对纵向所设计的固定时间制导律依然满足横向运动要求，也证明了本文设计的横向倾侧角反号逻辑的正确性与可行性。在本文所设计的制导律的作用下，经度的最大误差小于0.02°，纬度的最大误差为-0.09°，航向角的最大误差为±1°，且最大误差发生在倾侧角σ发生反号的时刻，精度均优于PD制导。从图15和图16可以看出，在航向角误差到达航向角误差漏斗走廊的边界时，σ反号。在图14相应时刻，航向角也向相反方向变化，使得航向角误差减小。从图14～图16可知，在整个过程中，采用本文所设计的制导律的倾侧角σ发生了4次反号，均未发生抖振现象，且航向误差能够控制在航向角误差漏斗走廊。

为验证所设计制导律的鲁棒性，进行了100组蒙特卡罗仿真，仿真参数如表4所示，仿真结果如图17～图19所示。

图17 终端高度误差与速度误差分布

表4 蒙特卡罗仿真参数

从仿真结果可以看出，所设计的制导律及横向反号逻辑在进入初始状态具有较大偏差时仍具有很好的跟踪效果，火心距的跟踪误差变化范围为-10500m～-4000m，而且大部分火心距跟踪误差分布于-6000m～-4000m之间，经度变化范围为-0.98°～-0.85°，大部分分布于-0.95°～-0.85°，纬度变化范围为-0.42°～0°，大部分分布于-0.3°～0°。从图19可以看出，对于不同的初始进入状态，终端时刻的位置分布比较集中，且大部分分布在误差较小的位置。

图18 终端水平位置分布图

图19 终端位置分布图

4 结 论

本文研究了火星探测器大气进入段的横向运动和纵向运动的跟踪制导律问题。针对横向运动，给出了与速度呈线性关系的航向误差漏斗走廊形式，设计了倾侧角反号逻辑。通过合理选择漏斗走廊参数，使得在起始阶段跟踪误差较大时能避免倾侧角频繁反号，而在制导末端也能保证航向角跟踪误差收敛到较小的值，进而保证横向运动的精度。与横程漏斗走廊的倾侧角反号逻辑相比，该逻辑计算简单，可有效降低宇航计算机的运算压力。与航向角误差等宽走廊相比，该逻辑在高速时能够有效避免倾侧角的频繁切换，提高任务成功概率。针对纵向运动，通过RBF神经网络补偿倾侧角饱和问题，利用积分滑模设计了阻力加速度抗饱和固定时间跟踪制导律，不仅避免了经典滑模控制固有的抖振问题，而且在制导律中引入的两种不同形式的跟踪误差，一方面通过选取合理的参数有利于减小滑模控制带来的抖振问题，另一方面还能保证在跟踪误差较大和较小两种情况下均可加快收敛速度，保证跟踪误差在有限时间内收敛至0。通过数值仿真可以看出所设计的横向倾侧角反号逻辑和纵向制导律的有效性，且在初始状态存在不确定性的情况下仍具有较高的跟踪精度。