弱网与拟网及其收敛性探究

丁玄伊，朱培勇

(电子科技大学数学科学学院，四川成都 611731)

0 引 言

从文献[1]可以看出:早年间偏序定义并不统一，其中给出的三种偏序的定义，其实就是现在的传递关系、拟序和偏序.文献[1]提到将满足三种性质的偏序集引入网中，网的某一定理不成立.在文献[2]，作者系统的讨论了三种关系的序结构. 众所周知，收敛性是数学研究的重要课题.在拓扑学中网收敛是大多数收敛问题的概括与抽象，因此对网与网收敛问题进行研究是拓扑学研究的重要内容之一.在文献[5]中就利用了非标准分析的方法, 在非标准扩大模型下, 对网收敛性进行了非标准刻画.

早期的偏序集定义不统一, 不同的偏序集引入网的概念会使得网的各种性质或多或少发生改变.如今的网大多都是由满足三条性质的偏序集引入，因此能否在偏序中去掉自反性或者反称性，保留传递性引入比拓扑学中的网更弱的新型网，用于刻画收敛性问题?引入的新型网是否像拓扑学中的网一样能够很好地或者较好地刻画与描述一些数学对象?本文将就这两个问题进行研究.

1 预备知识

定义1[2]设是集合S上的一个二元关系.(1)称是S上的一个传递关系，如果对于∀x,y,z∈S,当xy并且yz时，总有xz；(2)称是S上的一个拟序关系，如果是具有自反性(∀x,y∈S，总有xx)的传递关系；(3)称是S上的一个偏序关系，如果是一个具有反称性(∀x,y∈S，当xy且yx时，有x=y)的拟序关系.

因此，自然有如下定义

定义2(1)当是S上的一个偏序关系时，称序偶(S,)是一个偏序集(见[3])；(2)当是S上的一个拟序关系时，称序偶(S,)是一个拟序集；(3)当是S上的一个传递关系时，称序偶(S,)是一个传递序集.并且本文将偏序集、拟序集和传递序集统称为有序集.

为了讨论弱网与拟网及其收敛性质，本文需要文献[3]中的下面概念与基本结果：

定义3[3]设X是任一非空集合，T是X的一些子集构成的集族，如果下列三个条件被满足：

(1)X∈T，∅∈T；

(2)若G1,G2∈T,则G1∩G2∈T；

(3)若Gλ∈T(λ∈Λ)，其中Λ为任意指标集，则∪λ∈ΛGλ∈T.

则称T为集合X上的一个拓扑，并称有序偶(X,T)为一个拓扑空间.

定义4[3]设(S,)为偏序集，若∀x,y∈S,∃z∈S，使得xz且yz，则称(S,)为一个定向集.

定义5[3]设(X,T)为一个拓扑空间，(S,)为一个定向集，则映射f:S→X称为是X上的一个网，记为{xδ}δ∈S.

定义6[3]设X是一个拓扑空间，{xδ}δ∈S是X中一个网，x0∈X；称网{xδ}δ∈S是收敛于x0的，如果∀U∈u(x0)，∃δ0∈S，使得∀δ∈S，δ≻δ0，恒有xδ∈U.其中u(x0)是点x0的邻域系.

在本文中，如果没有特别申明，所涉及的其它符号、概念、命题与定理都来自于文献[3].

2 弱定向集与拟定向集

根据上面的定义1和定义2，下面两个命题是不证自明的：

命题2偏序集是拟序集；拟序集必是传递序集.

命题3(1)具有自反性的传递序集是拟序集；(2)具有反称性的拟序集是偏序集.

因此，我们有如下定义：

定义7一个传递序集(S,)称为是一个弱定向集，如果∀x,y∈S，∃z∈S, 使得xz且yz；具有自反性的弱定向集称为拟定向集，即拟序集(S,)称为是一个拟定向集，如果∀x,y∈S，∃z∈S，使得xz且yz.

于是，有如下定理

定理1拟定向集一定是弱定向集；定向集一定是拟定向集. 反之，结论也不成立.

证明由命题3的(1)和(2)，可分别直接得知：拟定向集一定是弱定向集并且定向集一定是拟定向集.下面，举反例说明：反之，结论也不成立．

(1)存在弱定向集不是拟定向的．

取实数集R，显然小于关系“<”是传递性关系，并且∀x,y∈R，存在z=|x|+|y|+1使得x

又，因为∀x∈R,x

(2)存在拟定向集不是定向的．

在实数集R上定义序关系“”如下：∀x,y∈R，xy当且仅当[x][y](其中[x]是x的整数部分)．可以证明(R,)是一个拟定向集，但非定向集：

因为∀x∈R，有[x]=[x]，所以xx，即是自反的；又因∀x,y,z∈R，xy且yz，有[x][y][z]，则xz.因此，具有传递性，故(R,)是拟序集.此外，对于∀x,y∈R，存在z=max{x,y}使得[x][z]并且[y][z]，即xz并且yz.从而，(R,)是一个拟定向集.

上面定理说明：拟定向集严格地强于弱定向集，定向集严格地强于拟定向集.

3 弱网与拟网及其收敛

在本节，主要类比文献[3]中的网与网收敛，引入弱网与拟网及它们的收敛概念.并且研究弱网与拟网的收敛性质.

定义8设(X,T)是一个拓扑空间，称映射f:S→X是X上的一个弱网(或者拟网)，如果(S,)是一个弱定向集(或者拟定向集).记为{xδ}δ∈S，其中：xδ=f(δ)(∀δ∈S).

根据以上定义，有如下定理：

命题4网一定是拟网；拟网一定是弱网.反之，结论也不成立.

证明：设{xδ}δ∈S是一个网，则(S,)是定向集，由定理1，(S,)是拟定向的.再由定义7，{xδ}δ∈S是拟网.用完全相同的方法和定理1，同样得知，拟网一定是弱网.

又由定理1证明中的(1)：存在拟定向集不是定向集.不妨设(S,)是一个非定向的拟定向集，取X=S，则恒等映射e:S→X(即，∀s∈S,e(s)=s)是X上的一个拟网，而不是X上的一个网.

再由定理1证明中的(2)：存在弱定向集不是拟定向的.又不妨设(S,)是一个非拟定向的弱定向集，同样取X=S，恒等映射e:S→X是X上的一个弱网，而不是X上的一个拟网.

现在，类比定义5，引入拟网收敛和弱网收敛的概念:

定义9设X是一个拓扑空间，{xδ}δ∈S是X中一个拟网(或者弱网)，x0∈X；称拟网(或者弱网){xδ}δ∈S是收敛于x0的，如果∀U∈u(x0)，∃δ0∈S，使得∀δ∈S，δ≻δ0，恒有xδ∈U.其中u(x0)是点x0的邻域系.

由此，我们得到关于拟网和弱网收敛的如下一系列结果：

证明因为拟网是弱网，所以(2)⟹(3)是显然的.为此，只证：(1)⟹(2)和(3)⟹(1).

用完全相同的方法,可得如下推论：

推论1设X为一拓扑空间，A⊂X，则下列三条件等价：(1)x∈A'(A'为A的导集)；(2)存在拟网{xδ}δ∈S⊂A{x}使得xδ→x；(3)存在弱网{xδ}δ∈S⊂A{x}使得xδ→x.

证明因为拟网是弱网，所以(2)⟹(3)是显然的.为此，只证：(1)⟹(2)和(3)⟹(1).

(1)⟹(2).设x∈A'，则∀U∈u(x)，U∩(A{x})≠∅.取xU∈U∩(A{x})，因为(u(x) ， ⊃)是一个定向集，则{xU}U∈u(x)是一个收敛于x的网.当然,{xU}U∈u(x)是拟网并且收敛于x.

(3)⟹(1).设弱网{xδ}δ∈S⊂A{x}，使得xδ→x；则∀U∈u(x)∃δU∈S，当δ≻δU时，有xδ∈U；所以xδ∈U∩(A{x})≠∅，故x∈A'.

关于开集，有如下刻画：

定理3设X为一拓扑空间，则下列三条件等价：(1)A是X开集；(2)不存在Ac中拟网收敛于A中的点(3)不存在Ac中弱网收敛于A中的点.

证明因为拟网也包含弱网，所以(2)⟹(3)是显然的.为此，只证：(1)⟹(2)和(3)⟹(1).

(1)⟹(2).反证，若存在拟网{xδ}δ∈S⊂Ac，使得xδ→x∈A，则∃δ0∈S，当δ≻δ0时有xδ∈A，这与xδ∈Ac矛盾.

(3)⟹(1).若A不为X中开集，则∃x∈A，使得∀U∈u(x)，有U⊄A，即U∩Ac≠∅.

取xU∈U∩Ac，则{xU}U∈u(x)是一个收敛于x的网，网也是弱网.这与不存在Ac中弱网收敛于A中的点相矛盾.

定理4设X与Y是两个拓扑空间，f:X→Y，则下列三条件等价：(1)f是连续映射；(2)对于任何弱网{xδ}δ∈S⊂X，若xδ→x，则f(xδ)→f(x)；(3)对于任何拟网{xδ}δ∈S⊂X，若xδ→x，则f(xδ)→f(x).

证明因为拟网是弱网，所以(2)⟹(3)是显然的.

为此，只证：(1)⟹(2)和(3)⟹(1).

(1)⟹(2).任取弱网{xδ}δ∈S⊂X并且xδ→x.∀V∈u(f(x))，因f是连续映射，故∃U∈u(x)，有f(U)⊂V.因为xδ→x，故∃δ0∈S，使得∀δ≻δ0，有xδ∈U.所以f(xδ)∈f(U)⊂V.从而f(xδ)→f(x).

(3)⟹(1).反证法.若f不是连续映射，则∃x∈X使得∃V∈u(f(x))，∀U∈u(x)，都有f(U)⊄V.

现在，对于∀U∈u(x)，取xU∈U使得f(xU)∈f(U)⊄V，则{xU}U∈(x)⊂X并且xδ→x.由已知有f(xU)→f(x).另一方面，因为V∈u(f(x))，则∃U0∈u(x)，对于∀U∈u(x)，当U⊂U0时，恒有f(xU)∈V.这与f(xU)∈f(U)⊄V矛盾.

从而，f是连续映射.

现类比拓扑空间中子网的概念，引入拟子网与弱子网的概念.

定义10设{xδ}δ∈S和{yα}α∈Δ为拓扑空间X中任何类型的两个网，若存在映射J:Δ→S，使得∀α∈Δ，有yα=xJ(α)，并且满足下列两个条件：

(SN1)∀α1α2∈Δ,若α1Δα2，则J(α1)J(α2)；

(SN2)∀δ∈S,∃α∈Δ，使得δJ(α).

根据{yα}α∈Δ的类型，称{yα}α∈Δ为{xδ}δ∈S的子网、拟子网或弱子网.

定理5若弱网(或者拟网){xδ}δ∈S收敛于x,则它的任意弱子网收敛于x.

证明因为拟网是弱网，所以仅以弱网为例进行证明.

由定理5和命题4，以下两个推论是显然的.

推论2弱网(或者拟网){xδ}δ∈S收敛于x,则它的任意拟子网收敛于x.

推论3弱网(或者拟网){xδ}δ∈S收敛于x,则它的任意子网收敛于x.

定理6设X=Πα∈ΓXα是拓扑空间族{Xα}α∈Γ的乘积空间，x=(xα)α∈Γ∈X， 则X中弱网(或者拟网){xδ}δ∈S收敛于点x当且仅当∀α∈Γ，Xα中弱网(或者拟网){(xδ)α}δ∈S收敛于xα.其中：xδ={(xδ)α}α∈Γ(∀δ∈S).

证明仅以弱网为例进行证明，拟网情形同理可证.

必要性.设xδ→x.则∀U∈u(x),∃δ0∈S使得∀δ∈S当δ≻δ0时，有xδ∈U.对于∀α∈Γ,∀Uα∈u(xα)，因为U=Uα×Πα'∈Γ{x}Xα'∈u(x)，故∃δ0∈S，使∀δ≻δ0，有xδ∈U.因此，∀δ≻δ0，恒有pα(xδ)=(xδ)α∈pα(U)=Uα,所以

充分性.设∀α∈Γ,有

令x=(xα)α∈Γ∈X.则∀W∈u(x),存在乘积空间X的标准基元B=(Πα∈σGα)×(Πα∈ΓσXα)，使得x=(xα)α∈Γ∈B=(Πα∈σGα)×(Πα∈ΓσXα)⊂W其中：σ是Γ的有限子集.

因为∀α∈σ，由于pα(xδ)=(xδ)α→xα，则∃δα∈Γ,对于∀δ≻δα，有(xδ)α∈Uα.由S为的定向性，∃δ*∈S,使得∀α∈σ有δ*≻δα.因此，∀δ≻δ*，有xδ={(xδ)α}α∈Γ∈U=(Πα∈σGα)×(Πα∈ΓσXα)⊂W.

所以，xδ→x.

4 结束语

本文在偏序集的基础上，借鉴早年间对偏序集的不同定义的研究，将偏序集弱化为拟序集与传递序集，在此基础上引入拟定向集和弱定向集的概念.经过本文的证明，发现定向集强于拟定向集强于弱定向集.并且在拟定向集和弱定向集的基础上引入拟网与弱网的概念，类比拓扑空间中对网收敛的研究，得到了关于拟网与弱网的收敛的几个等价刻画.