新教材中周期函数内容的比较研究

2020-08-26李世杰

数学通报 2020年7期

李世杰李盛

(1.浙江省衢州市教育局教研室 324000；2.浙江省衢州第一中学 324000)

周期函数是高中数学的一块重要内容，也是高中数学教学的一个难点.2019版普通高中数学教科书中，人教A版[1]、北师大版[2]和湘教版[3]继承沿用了上一版教材中周期函数的两种定义方式,我们也曾在文献[3-8]中对这两种定义下的周期函数作过一些探讨.

长期以来,这两种定义下的周期函数处于混用状态，但由于周期函数这两种定义的内涵并不完全相同，因此产生了不少似是而非，似非而是的数学问题.下面我们对这两种定义下的周期函数进行对比研究，从函数的定义，定义域，值域，周期，最小正周期，图象特征等方面寻找联系与区别,提炼共性特征，挖掘个性特点，在比较中澄清事实真相，纠正错误认识，希望对新教材中周期函数内容的教学有所帮助.

1 周期函数定义的比较研究

1.1 两个课本定义

现行高中教科书中常用的两个周期函数定义是:

课本定义1(人教A版[1]、北师大版[2]) 设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数(periodic function)．非零常数T叫做这个函数的周期(period)．

课本定义2(湘教版[3]定义)对于函数y=f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内每一个值时，x±T都有定义，并且f(x±T)=f(x)，则这个函数y=f(x)称为周期函数(periodic function)．T叫做这个函数的一个周期(period)．

1.2 课本定义1的优点与问题

周期函数课本定义1的优点：表述简洁，形式简单，易于高中学生学习理解，掌握周期函数最本质的东西：周期函数具备周而复始的性质,所以只要研究一个周期的情况，就能推知全部了,这也是学习周期函数的初衷.与《数学手册》[9]，《中学百科全书数学卷》[10]中定义完全一致.与原人教版必修4中的定义相比，明确了周期函数对于定义域的要求，即增加了一句“对每一个x∈D，都有x+T∈D”.这样修改,将原来隐含的定义域问题显性化,教学中更好操作,与物理中实际问题衔接也会更好.

但问题蕴含在定义之中．课本定义1比较简洁，约束强度不够，扩大了周期函数的外延，先看一个实例：

例1函数f(x)=1,x∈D,D={0}∪{2,3}∪[4,+∞),其周期T∈{2,3}∪[4,+∞).

解容易验证:对每一个x∈D，都有f(x+2)=f(x)，f(x+3)=f(x)，f(x+T)=f(x)，常数T≥4.在课本定义1下，进一步可以证明，函数f(x)的周期T∈{2,3}∪[4,+∞).

注函数f(x)的最小正周期为2.在第一个周期区间[0,2)∩D={0}上，函数y=f(x)的图象只有一个点；在下一个周期区间[2,4)∩D={2,3}上,它的图象有二个点；下一个周期区间[4,6)∩D=[4,6)上,它的图象为“一条线段(少了右端点)”.这三个周期区间内的函数图象都不一致，这样的函数显然不具备周期函数“周而复始”的性质，但在课本定义1下，函数y=f(x)是周期函数，而从图象上看，却又不具有周期性．

因此,课本定义1是一个广义的周期函数定义，适合此定义的并不都是传统意义上具有“周而复始”良好性态的周期函数.

考虑到中学生的接受能力，课本定义1尽管不完美，但简洁明快，学生容易接受，有利于学生的“学”，作为课本定义是可行的，我们一直是赞同的[4].这是现行教科书中采用的约束条件最小的定义，仍不失为一个比较好的解决方案，但由于它的“简单性”，需要解决其“先天不足”随时可能导致人们出现的错误判断.

教学对策:高度重视严谨性问题.在进行高中周期函数内容的教学时，应以教科书中定义为基础，非经严格论证，绝对不能想当然地搬用其它定义下的周期函数的性质.同时，要注意排除对其扩大了的外延的讨论，即避免出现有缺陷的“周期函数”，守住例习题选用的边界(只讨论完美的周期函数如三角函数型).否则对高中学生来说，教学要求就太高了.

教学中的常见问题：将课本定义1中的“非零常数T”理解为“T同时可正可负”，误认为课本定义1与课本定义2等价,论证过程如下：

根据课本定义1，由于f(x+T)=f(x)，所以f(x)=f[(x+(-T)+T]=f(x-T+T)=f(x-T)，因此课本定义1与课本定义2是一致的.

事实上，f(x-T+T)=f(x-T)成立的前提条件是x-T在函数f(x)的定义域内，才能由f(x+T)=f(x)推出f(x-T)=f(x).但课本定义1下的周期函数，对任意的x∈D，并不能保证x-T∈D.如例1中函数f(x)以2为周期，3∈D，但3-2=1∉D.

这是常见教学参考资料上出现的一些周期函数结论,存在似是而非科学性问题的由来.

1.3 课本定义2的优点与问题

课本定义2的优点：表述严谨，不违背科学性，与部分大学教材中的定义一致，能避免出现似是而非的周期性问题.刚开始学时,这个定义可能比较复杂,但深入学习,对周期函数的研究反而会更简单一些.

课本定义2的问题是:形式上比较复杂，约束强度过大，缩小了周期函数的内涵.

按课本定义2,函数y=sinx,x∈R是周期函数,但它的“局部”函数：物理中的简谐运动以时间为变量的函数y=sint,t∈[0,+∞)就不是周期函数,被排除在外了，但它们具有相同的周期性，这样学生在高中物理学习中可能会造成混乱,因为物理中很多与时间相关的周期性问题都是从0开始定义的.

教学对策:

(1)从周期性质应用的角度，恰当处理“周期函数”与“函数具有周期性”问题.

如:通过教学让学生先从整体上掌握函数y=cosx,x∈R的周期性，再来理解y=cosx,x∈R+和y=cosx,x∈[0,10π ]的周期性质一点都不困难，因为从图象上看，后面二个函数的图象只是前一个函数图象的一部分.

(2)简化定义

课本定义2形式上比较复杂，约束条件较多，实际上这个定义还可简化：

由于对每一个x∈D，函数f(x)在x±T都有定义，即有x-T∈D，我们用x-T替换f(x+T)=f(x)中的x，可得f(x-T)=f(x).因此，在课本定义2的条件下，f(x±T)=f(x)与f(x+T)=f(x)是等价的.课本定义2可改进为如下的等价形式.

定义3对于函数y=f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内每一个值时，x±T都有定义，并且f(x+T)=f(x),则这个函数y=f(x)称为周期函数,T叫做这个函数的一个周期．

定义3与课本定义1形式上比较接近，“对于任意的x∈D，都有f(x+T)=f(x)”是相同的，两个定义的关键差异在于对定义域的要求不同：对于任意的x∈D，课本定义1要求“x+T∈D”,定义3要求“x±T∈D”.

注由于课本定义2下的周期函数一定同时具有正、负周期,所以直接设定T为正数也是可行的.这是因为：无论T是正数还是负数，±T均可正可负，因此课本定义2和定义3中“非零常数T”可以更明确改进为“正常数T”.

2 周期函数性态的比较研究

不同定义下的周期函数，其性态差异是非常大的,下面我们分块加以讨论.

2.1 两种周期函数的共性

课本定义1和课本定义2下周期函数的公共特性有：

①周期函数y=f(x)将无限多次地取值域中的任何值．

课本定义1下的周期函数f(x)满足f(x+T)=f(x)，函数值一定无限多次单向重现.

课本定义2下的周期函数f(x)满足f(x±T)=f(x)，函数值一定无限多次双向重现.

②周期函数y=f(x)的定义域D一定是一个无限集.

证明：在课本定义1下，对任意的x∈D，都有x+T∈D，用x+T替换x，得(x+T)+T∈D，即x+2T∈D，…,x+kT∈D，k∈N*,…,所以定义域D是一个无限集.

在课本定义2下，对任意的x∈D，都有x±T∈D，类似地,可推知x±kT∈D，k∈N*,…,所以定义域D也是一个无限集.

利用定义域的上述特征，某些非周期函数的判定是“一望而知”的.

例2判断下列函数的周期性:

(1)f(x)=cos 2x,x∈[0,2020];

(3)h(x)=lgx+log2(10-x).

解容易看出,函数f(x),g(x),h(x)的定义域分别为[0,2020],[2,3],(0,10),均为有限集,所以它们都是非周期函数.

③当y=f(x)是周期函数时，则它的定义域也具备相应的“周期性”.

当y=f(x)是课本定义1下的周期函数时，存在一个实数T≠0，对任意x∈D，都有x+T∈D．因此,定义域D以T为周期.

当y=f(x)是课本定义2下的周期函数时，存在一个实数T≠0，对任意x∈D，都有x±T∈D．因此,定义域D同时以T,-T为周期.

因此，当定义域D不具备以上的“周期性”时，可以断定y=f(x)为非周期函数．这提供了判断非周期函数的又一种方法.

进一步地，可以证明[4]：当DR时，CRD也具备相应的“周期性”.

还可得出结论:仅在有限个点无定义的函数必为非周期函数．

④凡是周期函数，都有无穷多个周期.

在课本定义1下，若周期函数f(x)的定义域为D，则存在一个非零常数T，使得每一个x∈D都有x+T∈D，可得x+kT∈D，k∈N*,…,在f(x+T)=f(x)中用x+(k-1)T替换x,得f(x+kT)=f(x),k∈N*,可见kT(k∈N*)均为函数f(x)的周期.

在课本定义2下的周期函数，类似可证.

所以，两种定义下的周期函数，都有无穷多个周期.

注课本定义1中最后一句“非零常数T叫做这个函数的周期”，在周期前面加上“一个”,表述会更准确.而“周期函数的周期往往不是唯一的”和“周期函数的周期可以不只一个”的说法，则是不确切的，因为这样的说法会使人误以为“周期函数的周期，在一般情况下，是不唯一的；而在特殊情况下可以是唯一的”.

⑤周期函数一定有周期，但不一定存在最小正周期

两个课本定义下的周期函数的所有周期中，并不一定存在着一个最小的正数，所以周期函数不一定存在最小正周期.如：常数函数f(x)=1,x∈R, 任意非零常数都是它的周期，但在正数集中不存在最小的正数，所以它没有最小正周期.

2.2 两种周期函数的区别

2.2.1定义域的比较研究

一个函数的周期性，不仅与函数的对应关系有关，定义域也起着关键的作用．对应关系相同但定义域不同的两个函数，它们的周期性会有很大的差异．

区别1课本定义1下的周期函数,定义域D一定是一个无限集，且至少一端无界;课本定义2下的周期函数,其定义域D左右双向无界对称.

事实上,课本定义1下的周期函数要求对任意的x∈D，都有x+T∈D，能推出x+kT∈D，k∈N*.易知当T>0时，定义域在数轴上正向无界,但不能保证“负向无界”；当T<0时，定义域在数轴上负向无界,但不能保证“正向无界”,更不能确定定义域在数轴上双向无界．

课本定义2下的周期函数要求T和-T都是周期,因此当x在定义域D中时，x+T与x-T也在定义域D中,可推知x±kT∈D，k∈N*,这样就要求定义域D是左右双向无界对称的.

命题1当定义域D双向无界时,两个定义等价.

命题1是错误的.修改例1中的案例为:

函数g(x)=1,x∈D,D={n|n=2k,k∈z,k≤0}∪{2,3}∪[4,+∞),对任意的x∈D，易知都有g(x+2)=g(x)，但g(x-2)=g(x)不恒成立(令x=3∈D，但1∉D,所以g(3-2)没有意义).

2.2.2函数周期的比较研究

区别2课本定义2下的周期函数的周期只有一种情况：同时具有正、负周期.而课本定义1下的周期函数的周期情况比较复杂,有三种可能：

(Ⅰ)同时具有正、负周期，如函数f(x)=tanx,易知π ,-π 都是它的周期．

(Ⅱ)只有正周期但没有负周期，如函数g(x)=sin 2x,x∈(0,+∞),它的周期集合是{T|T=kπ ,k∈N*},所以函数g(x)只有正周期却没有负周期.

命题2如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，但n≠0)都是它的周期.

这是似是而非的一种说法,在许多教学资料中广为流传，我们需要作科学分析：

在课本定义1下，由T是函数f(x)的周期，并不能推出 -T也是一个周期.因此，它是一个假命题.我们只能说：如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n是正整数)都是它的周期.

在课本定义2下，连续运用“±T是f(x)的一个周期”条件k次，得f(x)=f(x±T)=f[(x±T)±T]=f(x±2T)=…=f(x±kT),k∈N*,可见±kT(k∈N*)均为函数f(x)的周期，这时命题3是真命题.

2.2.3最小正周期与周期关系的比较研究

在两个课本定义下，若周期函数f(x)存在最小正周期T*，则它的任意一个周期T与最小正周期T*的关系如何？

例3函数f(x)=1,x∈{0}∪[2,+∞)是周期函数,其周期的集合为[2,+∞).

解易知f(x+T)=f(x)=1,x∈{0}∪[2,+∞),T≥2，在课本定义1下，函数f(x)是周期函数,其周期的集合为[2,+∞),最小正周期T*=2.

再来研究在课本定义2下，T*与T的关系如何？

结论在课本定义2下，若周期函数f(x)存在最小正周期T*，T是它的任意一个周期，则T=kT*,k∈Z,但k≠0.

证明若T是正周期，且不是T*的正整数倍，则存在n∈N*,使T=nT*+r(0

若T是负周期，类似可证，略.

2.2.4周期函数图象的比较研究

理想的周期函数的图象,应该是均匀地、周而复始地变化的.人们研究“周期性”的意义，就在于只要讨论清楚一个周期内的情况，那么从局部到整体，从有限到无限的所有情况就都清楚了.

课本定义1下的周期函数，只要求f(x+T)=f(x)，从图象平移的角度来看,是向左或向右单向移动．而课本定义2下的周期函数，对于定义域D内的任意x，有x±T∈D，还同时要求f(x+T)=f(x)和f(x)=f(x-T)成立，这样前后周期内的图象能来回双向移动,必然完全相同，因而函数f(x)在每个周期内的图象必然是完全一致的.