化归思想在高中数学中的应用策略
2020-08-25汤晓玲
汤晓玲
(江苏省海门中学 226100)
化归是一种数学思想，也是解决数学问题的基本方法之一.化归思想，体现了学生对数学知识向能力转换的重要手段，对于促进学生加深对数学知识的理解和应用意义重大.如函数中变量的运动变化，概率中的现象与本质等数学问题，都用到化归思想.现结合高中数学，就化归思想的运用策略进行阐述.
一、化归思想，为探究函数问题提供教学指引
在数学领域，对一些运动变化现象的表达，多利用化归思想.如三角函数中循环往复的规律，可以从角度量向弧度量的转化，从而在角度与实数之间形成对应关系.同样，利用单位圆与有向线段，可以实现角度与坐标系之间的关联，实现数形结合.与此相关的，对三角函数知识的延伸，有弦与切互化，积化和差、和差化积，以及半角公式、倍角公式等变换等等，都是化归思想的典型运用.高中数学中，初等函数知识的学习，引入导数来探讨函数的单调性、极值、最值问题，可以实现对高次方程、不等式，转换为简单的数学问题.
由此可知，对于化归思想的运用，在分析函数问题时，要把握特殊点的转换，灵活运用多种转化策略，如拼凑法、换元法、构造法等等.面对数学问题，教师要引领学生探索数学知识的解题路径，找准突破口，特别是结合题设条件，引入等价转化，变抽象性数学问题为直观性、简单性问题，从而梳理出解题思路.解决数学问题的方法很多，但不同的解题技巧，需要学生充分运用数学思想，来寻找更佳的化归路径.函数问题多样、复杂，对化归思想的运用，有助于拓展学生的解题视野，将a问题转化为b问题，以学生熟悉的解题方式来求解，提高解题效率.
二、化归思想，在几何代数中展现演绎推理
几何学中的演绎推理是重要的解法思路，也是应用化归思想的典型.无论是立体几何，还是解析几何，化归思想应用广泛.分析立体几何中点、线、面的关系，可以通过化归将几何问题转化为代数问题.同样，对于面面平行、面面垂直问题，也可以利用化归思想，实现线面平行、线面垂直等相互转化.解析几何，往往从数形结合思路，通过化归，将图形问题与代数问题建立关联.如在分析一些解析几何题目时，引入坐标系媒介手段，利用代数反演方法来解决解析几何问题.比如对于二元一次方程组，其解与坐标系中的交点问题具有关联性；对于圆锥曲线与二元二次方程，普通方程与极坐标方程等，都可以从化归思想中实现问题转化.
分析解析几何中的最值问题，往往需要从数学逻辑推理中，引入化归思想，将抽象的数学问题，转化为具象问题，以代数方法来进行运算，抓住解题的关键点，实现以简驭繁.化归思想的特征，在于实现逻辑推理，可以从一般到特殊，还可以从特殊到一般，完成对问题的简化处理.如等差数列中的累加法、等比数列中的累乘法，数列求和中的裂项相消法、错位相减法等等，这些都是化归思想的具体应用，都在于利用代数手段来找到求解问题的方法.
三、化归思想，从概率统计中化隐为显
在认识自然、改造自然过程中，对天文地理等知识的研究，从中归纳出概率、统计的基本理论.对于概率，可以解释为对一种随机现象的统计与预测.
概率类数学题目，主要是运用统计分析方法，对可能的随机现象发生可能性的预测.面对该类题型，往往需要将真实问题转换为数学统计问题.教师在剖析概率、统计题意时，可以通过游戏法、试验法、观察法等，对发生的可能性进行估算.
四、化归思想，从建模中解决数学问题
数学问题与现实生活关系紧密，在解决数学问题时，教师要积极通过化归思想，完成对数学问题的建模探究.等价性变换是化归思想的典型应用，借助于数学知识，对数学形式进行变换，引领学生利用数学符号来表征数学问题，发展学生数学思维.数学建模探究，就是要引领学生从数学问题中提炼建模的方法，将数学情境转化为数学问题，通过数学模型来回归现实，回归数学的本质.某题中，有本金50万，有三种投资方式.第一种投资理财产品，每日获利50元；第二种投资理财产品，第一天获利5元，以后每天比前一天多15元；第三种理财产品，第一天获利0.4元，以后每天是前一天的2倍.请同学结合不同的理财产品，分析和计算出最佳的理财方案.针对该题的分析，先要对不同投资方案进行数学模型构建.第一种，可以构建为常函数模型，y=50,x∈N；第二种，可以构建为一次函数模型，y=15x-10,x∈N；第三种，可以构建为指数函数模型，y=0.4×2x-1,x∈N.由此，根据投资的天数为正整数，可以根据不同的数学模型，分别对其不同天数的获利值进行计算与对比.发现，当天数低于6时，购买第一种方案利润更高；当天数6
总之，化归思想体现了对复杂问题的简洁化转换，高中阶段在数学解题中，要指导学生利用化归思想，把握化归思想的特点，灵活选择解题方向，帮助学生提高解题质量和效率.
