随机提前期下非线性供应链库存优化策略选择

李卓群，严广乐

(1.华东交通大学 交通运输与物流学院，江西 南昌 330013；2.上海理工大学 管理学院，上海 200093)

0 引言

随着全球化市场的不断扩展，供应链面临新的挑战，全球化供应链导致运输提前期不但被拉长，还面临着不同程度的波动。运输提前期在整个供应链系统中扮演着重要角色，是影响供应链性能的主要因素之一。提前期存在不确定性已是供应链中的普遍现象，得到学者们的广泛关注，并在模型中引入对随机提前期的研究。

Chatfield等[1]建立了周期补货的order-up-to库存模型，研究了库存系统受随机提前期的影响，认为提前期波动会加剧订货量波动;Boute等[2]给出了提前期不确定时能够使库存成本最小的库存策略，并指出在随机提前期下，若要减小订货量波动，可能会导致成本增加;Chatifield[3]等在研究库存的缺货传播机制时，考虑了随机提前期的影响，发现提前期波动增加会带来更大的缺货概率;Chaharsooghi等[4]考察多阶供应链中的牛鞭效应，发现相比固定提前期，随机提前期对牛鞭效应的影响更大，Shahabi等[5]以beer game为框架，利用行为实验也证实了文献[4]的结论;Demir等[6]研究了提前期波动对经济和环境的影响，指出提前期波动对库存成本和碳排放量都有影响。

对管理者而言，成本是决定企业利润的重要因素，服务水平是赢得竞争优势的重要保证，弱化牛鞭效应会大大降低管理难度。因此订货量波动及其导致的牛鞭效应、库存成本、服务水平是评价库存系统绩效的重要指标[7-8]，很多关于供应链的研究均已指出，这些指标之间存在联系，且这些联系可能是反向的，甚至是矛盾的，Boute等[9]指出降低订货波动的同时，会降低顾客服务水平。在受随机提前期影响的库存系统中，此类现象更为突出，如Disney等[10]发现，与确定提前期不同，在随机提前期下，最小的库存波动并不总是带来最小的库存成本。现有研究大多以单一指标，少数以两个指标考查库存系统性能，本文的目标是探索牛鞭效应、库存成本和服务水平这3个指标受随机提前期影响的程度，并综合考虑3个指标，试图找出能够在降低牛鞭效应和库存成本同时，保证服务水平的库存策略。

本文的研究还涉及以下两个方面：

(1)增加不允许退货的约束条件 在建立库存模型时，大多数研究对订货量不作非负限制，即允许其为负值，并可以解释为允许退货。现实中，存在许多不允许退货的产品，如快速消费品，生鲜易逝品等。相比不带约束条件的允许退货模型，增加非负约束条件会导致模型复杂度大大增加，为理论研究带来困难。Wang等[11]在确定需求、确定提前期下，建立了受订货量非负约束的库存模型，发现约束条件，使得系统成为复杂的非线性系统，具有复杂的非线性特征;Boute等[9]利用限制需求与订货参数之间的关系保证订货量非负，但不能从根本上解决问题;Xun等[12]在不允许退货的约束条件下，对库存系统的李雅普诺夫稳定条件进行了分析，发现不同库存策略参数下系统状态不同，说明了库存策略选择的重要性，而且对提前期从1转变为2的动态过程进行了模拟，但并未考虑提前期随机变化的情形。本文在受随机提前期影响的库存模型中，进一步增加订货量非负约束，以考察不允许退货情景下库存系统的动态变化。

(2)库存策略的选择 Dejonckheere等[13]通过数学推导证明，Order-Up-To库存策略必定会产生牛鞭效应，但若在库存策略中增加两个反馈环，则可以减弱甚至消除牛鞭效应，该库存策略即为APVIOBPCS(automatic pipeline inventory and order based production control system)。APVIOBPCS库存策略通过对库存量和在途量的调整，对订货量形成反馈控制，通过改变调整参数，形成APVIOBPCS策略族，可以表示多种库存策略，当库存调整参数和在途调整参数均为1时，即Order-Up-To策略。APVIOBPCS策略已经在实践中得到应用[14-15]，以其为基础的研究也逐渐深入[16-18]。但在考虑随机提前期的模型研究中，大多采用的库存策略为Order-Up-To，为探索和发现随机提前期影响下的优化库存策略，有必要以APVIOBPCS策略族为基础开展研究工作。文献[10]在此方面展开研究，在对随机提前期的研究中以APVIOBPCS模型为基础考虑了POUT(proportional order up to)模型，该研究发现Order-Up-To策略并不是最优的库存策略，存在确定参数下的POUT策略，其带来的订货波动和库存波动都小于Order-Up-To策略下的波动。本文在此研究基础上，在更广泛的策略域内开展研究工作，并在考虑库存策略时，综合考虑订货波动、服务水平和库存成本3个指标的影响。

如前文所述，考虑订货量非负约束使得库存系统成为复杂的非线性系统，随机延迟的影响更加大了研究模型的复杂程度，而且本文的优化目标有3个，用数学推导的方法很难解决问题。因此，本文建立了库存系统动力学模型，采用计算机模拟法对问题进行研究。近年来，随着库存系统模型复杂程度的增加，计算机模拟法在库存管理研究领域得到了更广泛的应用[19-20]。计算机模拟法对研究复杂系统模型更具优势，模拟可以清晰表达库存系统中的信息流和物资流，允许研究者对模型做更贴近现实的复杂设计，通过仿真实验，可以按照构建的模型获取更丰富的信息，从而获取复杂库存系统的动态特征。

1 库存系统动力学模型

1.1 基本模型

本文的库存模型以APVIOBPCS库存策略为基础，增加订货量非负约束，以表达不允许退货情景，并假设提前期为独立随机分布。

订货量由需求预测，库存调整和在途调整3部分组成：

(1)

为表达不允许退货的现实情况，对式(1)增加非负约束，如式(2)所示，这使得库存系统具有非线性特征。

(2)

式中：库存量表达式为

WIPt=WIPt-1+TRANt-At；

(3)

在途表达式为

WIPt=WIPt-1+TRANt-At;

(4)

TRANt为供应商的发货量。本文假设供应商接到订单后，立即发货，但由于有1个周期的自然延迟，因此有

TRANt=Ot-1。

(5)

基于以上分析，可以得到该库存系统的动力学模型图，如图1所示。本文的仿真模型即为此模型。

1.2 随机提前期的表示

文献[21]通过实际数据发现，虽然随机提前期的分布存在差异，但随机提前期满足独立随机分布的比例接近60%,因此本文设提前期满足独立随机分布。在研究随机提前期时，需考虑订单是否允许交叉，根据文献[10]对全球物流数据的调查显示，有超过40%的订单存在交叉现象。另外，在实践中，很多企业为应对紧急情况或者满足大客户较高的服务水平，会启动紧急订货，并以更快的物流手段完成订单，这也是导致订单交叉的一个重要原因。因此本文假设允许订单交叉，即供应链成员较晚周期的订单可能更早到达，或者存在同一期会同时收到前面不同期的订单的可能。

设提前期为L的概率为pL，最小提前期可以为0，最大提前期设为L+，则平均提前期可表示为

(6)

在t时刻发出的订单Ot，最早的到货时间为t+1，最晚的到货时间为t+1+L+。按照APVIOBPCS策略流程，订货是每周期最后的步骤，因此存在1个周期的自然延迟，则即使提前期为0，最早的到货时间也为t+1。

随机提前期的计算机仿真实现步骤如下：

(1)首先按照需要的提前期概率分布生成n个周期的提前期，保存在数组R中，n为一次实验的运行周期。

(2)把生成的n个周期的提前期引入到基础的库存仿真模型中，第t个提前期代表订货量Ot的提前期。

(3)由于每个Ot的到货提前期已经在步骤(1)中生成，因此在每个订货周期初，就计算Ot的到货时间，并保存在到货时间数组arrivetime中，即arrivetime(t)=t+R(t)。

(4)之后，在每个订货周期中，检查t-L+和t之间的数组arrivetime，判断其中的arrivetime(i)是否为t，若为t，说明第i期的订货已经到货，则可以读取相应的到货量。

为保证随机提前期序列与理论模型一致，本研究对仿真生成的随机提前期序列进行了验证，验证参考的理论模型为文献[10]中给出的随机提前期状态的概率表示形式，如式(7)所示：

(7)

式中：qi为每种状态的概率;σ=2j-L+i。在第t期，所有小于t-L+-1的订单都已经到货，但是介于t-L+-1和t-1之间的订单是否到货并不确定。如果用0和1标识订单的到货状态，1表示仍然在途，没有到达，0表示已经到达，则订单状态可以用L+位二进制位表示，订单状态共有2L+种可能。可以用矩阵表示订单状态，每一行代表一种状态，矩阵的行：i=1,…,2L+，列：j=1…L+。

本文将仿真生成的随机提前期序列的状态概率与式(7)的qi进行对比，结果是一致的，说明本文采用的随机提前期模拟模型是正确的。

1.3 基础模型检验

由于本文考虑的模型为非线性模型，又引入随机提前期，使得模型的复杂度大大增加，传统的数学推导方法不容易解决，本文利用计算机模拟的方法解决该问题。为保证计算机模拟的正确性，对模型进行检验，以确定模拟实验得到的实验结果与理论推导是一致的。

Disney[22]用控制理论给出了当提前期确定时牛鞭效应(BW)随库存和在途调整参数的变化公式，若设Ti=1/αS，Tw=1/αSL，则有：

(8)

本文设计两个验证方案：①特殊库存策略下的比较;②理论contour图与模拟实验contour图的比较。

方案①是考虑库存策略的特殊情形，即β=αS=αSL，也叫POUT库存策略。该策略下，式(8)可表示为：

(9)

文献[23]给出了在POUT策略下，固定提前期库存波动(INV)的公式：

(10)

为了与式(9)和式(10)的理论值进行比较，对本文模型进行简化，与文献[22-23]一致。设提前期固定，也可以看作是随机提前期的一种特殊情况；另设允许订货量非负，即不存在约束条件。在此情况下，利用MATLAB进行模拟实验。图2所示为牛鞭效应值和库存波动值对应的理论与模拟值。从图2可以看出，无论是牛鞭效应还是库存波动，理论曲线和模拟曲线都基本是重合的，说明了模拟模型的正确性。

方案②是以contour图进行比较。图3所示为由式(8)生成的contour图，显示了固定提前期，无订货量约束时，在不同的控制参数组合下的牛鞭效应值。在相同的条件下，利用模拟实验计算不同控制参数组合下牛鞭效应值，并生成contour图，如图4所示。比较图3和图4a可以发现，两个图基本相同，说明模拟的实验结果与理论值是一致的，本文的基础模型正确。

2 库存系统绩效评价指标

(11)

根据大多数研究库存成本的文献中的假设，本文设库存成本由库存持有成本h和缺货成本b组成，每周期末计算本周期的总库存成本。库存平均成本公式可表示为

(12)

(13)

本文研究的服务水平是指客户订货的到货率，即在系统运行的整个过程的n个周期中，能够完全满足客户需求的比例。通过检查本期期初库存(即上期期末库存)和本期到货量之和是否大于本期需求量来判断是否能够满足客户需求，用公式表达如下：

(14)

(15)

本文以3个指标评价库存系统绩效，试图探索此3项性能指标与库存策略之间的关系，找到能够同时满足这3个指标的库存策略。

3 模拟实验

传统的系统动力学模型研究一般采用专门的系统动力学建模工具，如Vensim、Anylogic等，但这些软件在进行实验时会存在一定的局限性。为全面了解随机提前期对库存系统绩效的影响，并比较受约束库存系统与线性库存系统模型的区别，本文依照前文所述库存模型思想，利用MATLAB建立库存系统动力学模型，在库存模型的各种情景下进行模拟实验，每组实验运行2 000次，利用模拟数据计算对应的各项性能指标。首先，研究增加订货量非负约束条件是否会改变库存系统性能，确保本文研究模型创新的重要价值；然后，研究随机提前期对库存系统性能的影响，并进一步研究随机提前期波动对库存管理的影响；最后，根据前面两项的研究，给出随机提前期下能够使得系统同时具有较小的订货量波动和较低的库存成本，并可以保证较高服务水平的库存策略。由于本文的库存策略中，要确定库存调整αS和在途调整αSL两个参数，为全面清晰地分析订货参数对库存系统性能的影响，找出恰当的库存策略，以contour图的形式表示受αS和αSL影响的各项性能指标的变化情况。模型中另有μ,T,b,h四个基础参数，取值为：μ=100;T=30;b=9;h=1。本文对这些参数作了敏感性分析，发现这4个参数对本文结论不会产生本质影响，限于文章篇幅，不展开论述。

3.1 随机提前期波动的影响

在随机提前期下进行模拟仿真实验。通过观察不同随机提前期分布的实验结果发现，虽然不同分布下得到的具体实验值不同，但趋势却相似。为展现随机提前期下各性能指标的变化，此处选取文献[10]中提到的一种随机提前期概率分布：p0=0.1,p1=0.1,p2=0.6,p3=0.1,p4=0.1，关于其他提前期分布将在下文中进行比较分析。图5所示为满足以上随机提前期分布下，不加订货量非负约束和加订货量非负约束各指标的变化contour图。比较图4和图5可以发现，增加订货量非负约束和未增加约束存在库存成本的变化和服务水平的变化不一致，因此有必要把是否对订货量做非负约束区分开来研究。本文重点研究对订货量作非负约束的情况。

研究发现，随机提前期的波动程度对库存系统的性能具有不同程度的影响。为了研究提前期波动的影响程度，考虑一类库存策略，即POUT策略(BW≤2)。图6给出了不同随机提前期波动下，订货量波动、平均库存成本和服务水平随库存策略参数β的变化情况。观察图6发现，不同随机提前期波动下，各性能指标随SLR≥95%的变化趋势基本相同，而且与固定提前期(σL=0)对应的指标的变化趋势基本相似，说明随机提前期波动变化并不影响供应链性能的性质变化；同时，从图6中可以发现，不同随机提前期波动、相同的库存策略δL下，库存成本(如图6b)和服务水平(如图6c)有较大变化，但对订货量波动(如图6a)影响不大。随机提前期波动越大，相应的库存成本越高，服务水平越低。

3.2 随机提前期下的库存策略选择

进一步观察图5可以发现，较小的库存成本对应的库存策略与较高的服务水平对应的库存策略并不完全一致，说明库存成本和服务水平之间存在固有矛盾，库存成本小意味着库存水平较低，因此可能导致比较高的缺货水平。在寻找更优库存策略域的实验研究中发现，不存在一个最优策略，可以保证在该策略下同时满足3个性能指标都达到最优，即订货波动最小、平均库存成本最低和服务水平最高。从管理实践的角度看，最优值往往是理想状态，性能指标在一定程度上波动属于管理者可以接受的选择方案，因此，本文对3个性能指标综合考量，根据图5得到的3个指标数据分布，设定这3个指标的较优范围，而不是一个最优值，给出可以同时满足3个性能指标较优范围的库存策略区域。3个指标的较优范围分别为：①牛鞭效应BW≤2；②平均库存成本ACOST≤260；③服务水平SLR≥95%。本文试图找到能够同时满足这3个指标的库存策略，并将其称为较优库存策略。

利用3.1节中的模拟程序，调整订货参数，在整个库存策略域内进行实验，在不同的提前期波动下得到较优库存策略。图7给出当随机提前期波动δL分别为0，0.5，1和1.5时，较优库存策略域的变化情况，图中灰色区域代表较优库存策略域。

由图7可知，不同提前期波动下都存在一定的库存决策区域可以保证系统具有较优的性能，即低库存成本、高服务水平。比较图7a～图7d可知，随着提前期波动的增加，较优库存策略域不断减小，说明随机提前期波动的增加会影响系统性能，随机提前期波动越大，在选择库存策略时应越慎重。同时，由图7中可以发现，虽然较优库存策略域在减小，但策略域之间存在包含关系。这一发现可以帮助决策者在决策时尽量选择这些策略域中的公共部分。也就是说，如果选择合适的库存策略，可以抑制随机提前期波动的影响，保证库存系统性能最优。

表1所示为在图7c中选取的灰色区域的策略与Order-Up-To策略的比较。从表1可以看出，虽然Order-Up-To策略的平均成本比较优策略域低6%，但订货波动量却比较优库存策略高50%，服务水平也比较优库存策略低8%。

表1 较优库存策略与Order-Up-To策略比较

4 结束语

在实践中，运输提前期不确定是一个常见的管理难题，因此，管理者往往会增加安全库存或订货量，从而导致库存成本增加。本文研究库存系统绩效是否受随机提前期影响以及影响程度，并给出可以在一定程度上消除随机提前期影响的库存策略。本文研究表明，提前期波动对库存订货量波动、成本和服务水平均有影响，但影响程度并不相同。对于同一库存策略，随机提前期波动对牛鞭效应影响最小，对服务水平影响最大，对库存成本的影响居中；随着随机提前期波动的增加，库存成本会有明显增加，服务水平显著降低。同时，研究结果也表明，对于不同的库存策略，随机提前期的不同波动带来的性能指标变化趋势基本相同，且与固定提前期下的变化趋势亦相同。这一实验结果说明，固定提前期下系统的性能与随机提前期下的系统性能变化性质相同，固定提前期下对订货量波动、库存成本和服务水平的研究成果可以应用于随机提前期的研究中。另外，研究还发现，增加了订货量非负约束的库存系统模型的各项性能指标变化趋势与线性库存模型有很大不同，应加以区分，在无订货量非负约束条件下得到的研究结论可能并不适用于具有订货量非负约束即不允许退货的情况。

本文研究结果为管理者提供了选择库存策略的依据和方法，当不能确保提前期保持固定不变时，可以选择较优库存策略，以消除随机提前期波动带来的负面影响，保证库存系统具有较小的订货量波动，较低的库存成本和较高的服务水平。在后续研究中，可以考虑在不同的供应链情景下，比较有无订货量约束带来的供应链系统各项性能指标的差异。