基于制造公差的复杂机械产品精准选配方法

曹 杰，高智勇，高建民，谢军太

(西安交通大学 机械制造系统工程国家重点实验室，陕西 西安 710049)

0 引言

复杂机械产品往往具有研发成本高、产品构成复杂、零部件之间有复杂约束关系等特点。在装配过程中，为保证这种由大量、多质量特性零部件组装而成的复杂机械产品拥有高配合精度，若仅通过不断提高零件的制造精度，难免会大大增加生产成本。而选择装配(简称选配)能够在不增加制造精度的前提下，利用计算机强大的计算能力对待装配零部件的装配序列进行优化，从而使得产品精度更高的同时剩余零件更少。

目前，国内外学者主要从分组方法和智能算法两个方面解决选配问题。如Kannan等[1]探讨了一对多的零件选配分组问题，提出一种新的分组方式，可以有效降低产品的装配公差，同时减少了剩余零件数量。之后又基于田口质量损失函数，采用遗传算法来搜索最优的分组，但该方法仅适用于零件尺寸服从正态分布且彼此分布差异不大的情况；Matsuura[2]将平方损失函数推广到了凸形损失函数中，成功地建立了最优分组，实现了零部件尺寸分布概率密度函数为对数型的模型求解；Raj等[3]利用粒子群算法将分组选配方法应用于具有3个匹配零部件的装配中，不仅有效减少了剩余零件，还提高了计算效率；Lanza等[4]在新的测量技术和IT系统的背景下提出一种基于网络物理系统匹配的选择性装配方法，并以汽车电气驱动组件为例验证了该方法的有效性；Upadhayay等[5]提出一种整合选择装配、质量损失函数和分析网络过程的概念模型；Asha等[6]提出一种适用于高精度组件的分组选配方法，以最小化装配间隙波动为目标，同时最小化剩余零件，并通过轴承的装配进行了验证；宿彪等[7]对工程机械再制造环境进行了分析，构建了基于多元质量损失函数和装配偏差度的数学模型，能够在保证产品装配质量的同时，有效提高重用件和修复件的利用率；陈杰等[8]针对复杂产品多质量特性的特点，构建了以装配间隙波动最小化为目标的选配优化模型，并在粒子群算法中引入了动态归档机制和共享机制对模型进行求解；任水平等[9]构建了多质量要求下面向三维空间的统一选配信息模型，并在利用遗传算法求解时采用强弱Pareto法有效地描述了多质量要求产品选配中质量要求间的主次关系；王康等[10]提出一种基于SPEA2(improving the strength Pareto evolutionary algorithm)的选择装配方法，最终优化的结果以Pareto边界集表示。

综上所述，基于分组策略的选配方法比较依赖于零部件的尺寸分布，不适用于不服从特定分布且结构复杂的装配体。智能算法虽然在单目标优化中能够起到很好的效果，但复杂机械产品在装配中往往具有质量要求多、尺寸链复杂等特点，导致智能算法在多目标优化中难以同时协调多个质量要求的优化。同时，以上关于选配的研究均忽略了产品的形位公差，而实际上除了尺寸特征变动即尺寸误差的影响外，形位特征的变动即形位误差也会影响到整个装配的最终质量[11-12]。为解决上述问题，本文提出一种基于零部件优先级及质量要求优先级的选配方法，并提出一种在选配中形位公差的有效表征形式，最后以曲柄连杆机构为例验证了方法的可行性与有效性。

1 基于制造公差信息的选配优化模型

1.1 曲柄连杆机构中形位公差的有效表征

在复杂机械产品的装配中，形位公差的作用包括：

(1)形位公差作尺寸链组成环 叶远璟等[13]在装配误差分析中提出了形位误差纳入装配累积计算的判定准则，并建立了基于统计平方根法的装配误差累积计算模型，将形位误差纳入了装配误差分析体系中。

(2)形位公差作尺寸链封闭环 即建立以形位公差为质量要求的选配模型。本文以曲柄连杆机构为例，提出一种形位公差实测值在选配中的有效表征形式。

图1中：D1、D2分别表示主轴承和连杆轴承孔径；d1、d2分别表示主轴颈和连杆轴颈直径；τ1、τ2分别表示主轴瓦和连杆轴瓦厚度(τ+与τ-分别表示上轴瓦与下轴瓦)；σ1、σ2分别表示主轴承孔和主轴颈的配合间隙，以及连杆轴颈和连杆轴承孔的配合间隙。

(1)主轴颈中心相对位置度公差的计算。

由图1可知，机体主轴承孔与曲轴主轴颈存在5处配合。考虑到运行过程中上下主轴瓦会轮流与主轴颈接触，因此在形位公差的计算时主轴瓦尺寸取上下主轴瓦厚度的平均值，连杆轴瓦同理。本文以机体主轴承孔的轴线为基准线，定义主轴颈中心相对位置度公差lo表达式：

(1)

(2)

si=Di1-di1-τi1。

(3)

式中：n为主轴承孔与主轴颈配合的数量；si为各主轴颈轴心到基准线的距离；Di1为第i处主轴承孔直径；di1为第i处主轴颈直径；τi1为第i处主轴瓦上下轴瓦厚度的平均值。

(2)连杆轴颈、连杆轴承孔配合的平行度公差Po的计算

(4)

xo=τ2+d2/2,

yo=D2/2,

(5)

1.2 基于装配精度和装配成功率的选配模型

复杂机械产品在装配中往往具有多个质量要求，为多目标优化问题，本文以装配精度和装配成功率作为质量要求的评价指标，建立以下模型。

(1)基于田口质量观的装配精度评价模型

根据田口博士对质量的定义，本文以产品的装配质量特性值偏离理想设计值的平均损失为优化的目标函数，保证装配精度的可靠性和稳定性。其表达式如下：

(6)

(7)

(8)

式中：yj,s为第j件产品第s个质量要求FRs的实测值；A为质量要求不合格时所造成的损失，由实际工程经验给出；ymaxs、ymins分别为公差设计值最大值和最小值；Tos为设计公差值；yo,s为公差设计中心值，yo,s=(ymaxs+ymins)/2。

(2)基于装配成功率的装配质量评价模型

在机械产品装配不完全互换的前提下，即使待装配的零部件全部合格，装配后的产品也会出现不满足质量要求的情况。因此，将装配成功率也作为选配质量的重要评价指标，质量要求FRs的装配成功率为：

η(FRs)=Ms/M。

(9)

式中：M为一次选配得到的产品件数；Ms为一次选配质量要求FRs合格的产品件数。

可得单质量要求FRs的选配综合优化模型为：

minQs(X)=SQ(FRs)

=c×Cost(FRs)+(1-η(FRs))。

(10)

式中：X表示一个选配方案；c为常数(0≤c≤1)，表示装配精度对装配质量的影响程度。

(3)多质量要求下的多目标选配综合优化模型

复杂机械产品的装配过程中往往存在多个需要同时保证的装配功能要求，称为多质量要求。因此，在建立单质量要求下的选配综合优化模型的基础上，建立多质量要求下的多目标选配综合优化模型：

minQ(X)=[Q1(X)Q2(X) …Qs(X)]；

s.t.

Qs(X)=SQ(FRs)

=c×Cost(FRs)+(1-η(FRs))，

Y=(y1y2…ys)，

Ymax≥Y≥Ymin，

Ymax=(Ymax1Ymax2…Ymaxs)，

Ymin=(Ymin1Ymin2…Ymins)，

X∈Xm。

(11)

式中：Q(X)为目标向量；ys为第s个质量要求对应的封闭环实测值；Ymax、Ymin为质量要求合格边界；Xm为选配方案集。

1.3 基于影响度的选配优先级评价模型

在复杂机械产品的选配中，由于质量要求较多，在使用智能算法优化时往往面临收敛缓慢的问题。考虑到产品最终的质量要求实测值是由组成该产品各个零部件公差项实测值所决定的[14]，可将尺寸链中不同组成环对封闭环的影响度作为零部件优先级的评定标准，影响度越大的零件，优先级越高。因此，在对尺寸链进行公差分析的基础上，本文提出了基于影响度的选配优先级评价模型。

1.3.1 选配零部件优先级评价

影响度用来描述装配尺寸链中每一个组成环尺寸公差对封闭环尺寸积累的贡献大小。本文根据装配尺寸链中各组成环的公差波动，结合该组成环对封闭环的影响度，确定各零部件的选配优先级。

尺寸链U中，定义第i个组成环的影响度

(12)

考虑到同一零部件可能包含多个公差项，因此零部件的选配优先系数

(13)

式中ΩL为隶属于零部件L的公差项集。

1.3.2 质量要求的优先级评价

在复杂机械产品多质量要求的选配中，各质量要求间应存在主次关系，而传统做法是根据各质量要求对最终产品性能的影响程度来确立其重要程度[9]。本文考虑到选配的最终目的是保证每套产品的各个质量要求实测值尽可能地稳定在目标设计值附近，因此公差波动越大的质量要求在选配中应予以更高的优先级，从而定义质量要求s的选配优先级系数

(14)

式中：As为质量要求s不合格时，产品的质量损失；Tos为质量要求s的公差设计值。

2 基于遗传算法的模型求解

在多目标优化问题的求解上，传统的智能算法如遗传算法、蚁群算法、粒子群算法等通常将多目标转化为单目标的形式进行求解，难以解决复杂机械产品多质量要求下的选配问题。而基于Pareto的遗传算法能够有效地结合密度估计方法和适应度分配策略，相较于传统的遗传算法，它的解具有更好的收敛性和多样性。因此，本文采用基于Pareto的遗传算法对第1章建立的模型进行求解。

2.1 基于零部件单元的基因编码方法

要解决选配这类工程实际问题，首先要设计编码方式，将实际工程信息映射到数学优化模型中。复杂机械产品的尺寸链往往具有以下特点，本文采用的处理方法如下：

(1)一个装配体中存在多个同类型零部件

基于零部件分层的装配方案矩阵

(15)

(16)

(2)多个公差项隶属于同一个零部件

对于此类问题，传统的做法是通过建立约束关联矩阵将隶属于同一零件的公差项关联起来[9-10]。而对于部分复杂机械产品，如曲柄连杆机构机体与曲轴的装配，多个公差项之间需要按顺序一对一配合，这不仅要求隶属于同一零件的公差项在进化操作中保持关联，还需要公差项之间保持一定的顺序。因此，本文通过建立映射关联矩阵来解决此类问题，具体步骤如下：

步骤1设零件L包含的公差项个数为SL，则建立零件L的映射关联矩阵ΤL为：

(17)

(3)单个公差项隶属于多个尺寸链的组成环

可将隶属于不同尺寸链中的该公差项视为隶属于同一零件的多个公差项，解决办法同(2)。

2.2 基于零部件优先级的遗传算子

遗传算法的算子包括选择、交叉和变异3部分。其中，本文采用轮盘赌的方式实现选择算子，即按照种群中个体适应度确定下一代所选个体概率[15]。

在算法迭代优化的过程中，核心是新种群的产生。交叉运算的目的是为了让子代保留双亲的优秀基因，而变异是为了提高个体的多样性。在选配中，基因的信息体现在零部件的配对关系中，因此在算法的交叉变异环节应以一组零部件的配对关系为基本单元进行移动。

(18)

2.3 综合Pareto强度和密集度的适应度评价

传统的适应度评价方法往往采用Pareto支配法，而复杂机械产品的装配质量要求较多，容易出现种群中个体互不支配的情况，导致优化效率低下。因此，本文提出一种结合Pareto强度和密集度为个体适应度的评价准则。设在遗传算法中种群P由内部集pop和外部集out组成，则个体X的Pareto强度

(19)

(20)

式中：Pa(X)表示个体X的Pareto强度；ΩP-X为种群P中除X外的其他个体；Ns为质量要求的个数；Ps为质量要求选配优先级；Qs(X)表示综合质量损失，由式(11)计算可得。

密集度描述了群体中粒子间的拥挤程度，表征了种群的多样性，本文采用K近邻算法评价个体的密集度，个体X(a)密集度

(21)

(22)

综合考虑Pareto强度和密集度，可以得到种群中个体X(a)的适应度

Fit(X(a))=Pa(X(a))+Dis(X(a))。

(23)

本文利用适应度对种群中个体的优劣进行评价，一方面利用Pareto强度保证产品的功能要求，提高装配质量；另一方面利用密集度保证种群中个体的多样性，避免搜索算法陷入局部最优解。

2.4 多目标遗传算法流程

该算法由输入模块、初始化模块、评价模块、进化模块和输出模块5部分组成，如图2所示，具体步骤如下：

(1)随机构建初始内部种群pop，并构建一个空的外部种群out，其规模分别为Npop、Nout，设立最大进化代数Z。

(2)依据零部件实测值数据和偏差传递数据计算得出各零部件、质量要求的优先级系数PL、Ps。

(3)计算pop∪out集中个体的适应度值Fit。

(4)利用选择算子进行选择操作，使用优秀个体更新内部集pop。

(5)判定是否满足终止条件，进入第(6)步，若判断收敛或当前代数大于Z，则输出内部集pop中的最优个体对应的装配序列。

(6)对pop中的个体进行交叉、变异操作，并将子代保留到外部集out中，返回第(3)步。

3 应用实例

某厂生产的4GJS发动机为直列四缸汽油机，采用全支承曲轴，具有5挡主轴颈和4挡连杆轴颈，曲轴主轴颈和主轴瓦的配合与连杆轴颈和连杆轴瓦的配合采用压力循环润滑。质量要求σ1、σ2对应的装配尺寸链表达式为：

(24)

现将10套待装配零部件作为实例进行选配分析[16]，如表1所示为各个零部件的设计公差值及优先级系数，表2所示为质量要求及质量要求优先级系数，表3所示为部分零件特征尺寸实测数据。

表1 机械零件设计公差数据

表2 装配质量要求

表3 部分质量特性实测数据

设A=100,pc=0.8，pm=0.8,c=0.5,r=1,外部种群out和内部种群pop规模均为30，Z=300。在以上给定的参数下，对模型求解得到的装配序列以及在各质量要求上的质量损失如表4所示。表中cos(FRs)表示该件产品的第s个质量要求的损失，若该类质量要求的数量不止一个，则取其平均值。

表4 选配结果

表5 不同选配方法的结果

下面讨论选配优先级的影响，如图3所示为考虑优先级和不考虑优先级时，种群最优个体的综合质量损失Q随算法叠加代数的变化。

采用均方误差法(Mean Square Error, MSE)以连续10代上下浮动值稳定在5%以内作为算法收敛的标准，判断收敛后以其中最优个体作为结果输出，以第a～第a+9代为例，具体计算公式为

(25)

(26)

式中：mes为均方根误差，以其低于5%作为收敛标准；Qi为第i代最优个体的综合质量损失；Qave为10代最优个体综合质量损失的平均值。

多次运行后，得出在同样的输入数据和选配基础参数下，基于优先级的算法平均在250～350代完成收敛，而不考虑优先级的算法在450～600代完成收敛，可知基于优先级的选配算法优化效率更高、收敛更快。

4 结束语

本文分析了复杂机械产品在选择装配中尺寸链复杂且具有多个质量要求的情况，提出一种基于零部件及质量要求优先级的选择装配方法，综合Pareto强度及密集度生成适应度函数作为个体评价规则，并通过实例验证了基于选配优先级的遗传算法具有更好的收敛速度。同时，提出一种形位公差的有效表征，建立了面向形位公差的装配精度计算模型，以曲柄连杆机构为例验证了该模型能够在保证尺寸公差装配精度的前提下，有效降低产品的形位公差。本文建立的模型对复杂机械产品的选配具有较好的适用性，在此基础上考虑机械产品的动力学特性将是下一步工作的重点。