圆锥曲线又一统一性质

【摘 要】本文以解析法探讨了圆锥曲线对称轴上任一定点到它的最近点的位置，并且为得到统一的解析式，引入了圆锥曲线顶点的曲率中心知识，用该中心对对称轴上的定点进行分类讨论，并以统一的圆锥曲线直角坐标方程来求解，从而求得这个最近点，得出圆锥曲线的又一统一性质。 

【关键词】圆锥曲线;对称轴;定点;統一性质

【中图分类号】G712  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2020）16-0064-02

在高中数学中，解析几何占有很重要的地位，其中圆锥曲线部分的知识也是高考必考的内容。圆锥曲线包含了椭圆（圆）、抛物线及双曲线。目前高中教材及一些文献已介绍了许多关于圆锥曲线的统一性质，本文将介绍圆锥曲线的另一个统一性质。

1   问题的提出

在教学实践中，笔者碰到一个学生容易出错的问题：如图1，已知圆锥曲线C，点B是对称轴所在直线上的任一定点，试在C上求一点A，使得A、B两点的距离最小。

有部分学生想当然地回答：顶点M便是所求的最近点。其实不尽然，那么这个最近点A与何因素有关、在何位置呢？结论是与圆锥曲线C的顶点M的曲率有关。为推导出点A在C上的确切位置，需对定点B进行分类讨论，并需要有以下知识储备，如统一公式。圆锥曲线的顶点曲率半径为，其中为离心率，为焦点到相应准线的距离（椭圆上的顶点指长轴上的顶点）。

即所求的最近点A在以为圆心，以为半径的定圆上。至此，点A的位置就是圆锥曲线C自身与定圆E的交点。

回顾以上关于求圆锥曲线对称轴上任一定点到它的最近点位置的问题，引入了顶点的曲率中心，对该定点进行分类讨论，并以统一的圆锥曲线直角坐标方程来求解，从而求得最近点的位置且总结出了圆锥曲线如下的又一统一性质：①当所给定点与圆锥曲线顶点分居在顶点的曲率中心同侧（定点也可取曲率中心）时，最近点为圆锥曲线顶点;②当所给定点与圆锥曲线顶点分居在顶点的曲率中心异侧时，最近点为圆锥曲线自身与一定圆（圆心为圆锥曲线顶点的曲率中心与定点的中点，半径为该中点到顶点的距离）的交点。

【参考文献】

[1]人民教育出版社中学数学室.平面解析几何（全一册）[M].北京：人民教育出版社，2000.

[2]白富志.高等数学（第2版）[M].北京：机械工业出版社，1998.

【作者简介】

陈彦（1962～），男，汉族，广东汕头人，汕头职业技术学院自然科学系副教授，硕士。研究方向：应用数学。