起重机主梁轻量优化精确建模与智能求解方法

2020-08-17郜少波程精涛

机械设计与制造 2020年8期

郜少波，程精涛

（1.河北劳动关系职业学院，河北石家庄 050002；2.成都理工大学工程技术学院，四川乐山 614007）

1 引言

随着经济全球化不断深入，市场竞争更加激烈，我国桥式起重机自重大、体积大、耗能多，不具备竞争优势[1]。在满足强度、刚度、稳定性约束基础上，对起重机桥架结构进行轻量化设计，对于提高市场竞争力和经济效益具有重要意义。

起重机轻量化设计技术包括材料轻量化、制造轻量化和结构轻量化，其中结构轻量化又可分为拓扑优化、形状优化和尺寸优化，这里研究的是使用固定材料和特定形状下的尺寸优化方法。起重机主梁尺寸优化方法主要包括响应面极限状态设计[2-3]、可靠性设计[4]、智能优化设计等方法，文献[5]对遗传算子和变异算子进行了改进，提出基于改进遗传算法的设计方法，仿真结果表明，改进遗传算法的优化设计结果优于周期性拓扑优化方法；文献[6]将文化基因算法、遗传算法、模拟退火算法融合为加速文化基因算法，应用于起重机轻量化设计，得到了满足设计要求的设计方法；文献[7]以主梁质量最小为目标函数，以稳定性和刚度为约束条件，使用拉格朗日乘子的方法得到了优化方案。当前我国起重机设计理论依然过于保守，先进的、智能的设计方法依然处于理论分析和实验阶段，应用到实际设计与生产中仍有较长的路要走。

研究了主梁优化设计的精确建模和智能求解方法。在建模方面，建立了优化设计目标函数，使用罚函数将约束优化问题转化为非约束优化问题；在智能求解方面，以粒子群算法为基础，提出了多渠道信息来源方法，使粒子根据信息自适应选择进化方法，使用此方法求解优化模型，实现了主梁的轻量化设计。

2 引入罚函数的主梁轻量化优化模型

2.1 箱型主梁优化目标函数

前文中提到，研究的是使用固定材料和跨度前提下对箱型主梁的尺寸优化问题，在材料和跨度固定的情况下，箱型主梁的质量取决于主梁的体积或横截面积。箱型主梁的截面，如图1 所示。图中：x1—腹板高度；x2—右腹板厚度；x3—上翼缘板厚度；x4—翼缘板宽度；x5—左腹板厚度；x6—下翼缘板厚度。以此6 个截面参数为设计变量，轻量化设计的目标是在满足约束条件下实现质量最小化，也就是截面积最小化，因此目标函数建立为：

式中：f（x）—主梁截面积，右侧第一项为左右腹板截面积，第二项

为上下翼缘板截面积。

图1 箱型主梁截面图Fig.1 Sectional View of Box Girder

2.2 约束条件

主梁优化的约束条件包括设计变量的范围约束、刚度约束、强度约束、稳定性约束等[8]，下面具体分析。

2.2.1 设计变量的范围约束

当起重机的载重等级确定以后，根据GB/T3811-2008 与起重机设计手册可以确定设计变量的取值范围，（5～50）t 起重机的截面参数取值范围，如表1 所示。

表1 截面参数的设计范围Tab.1 Designing Scope of Section Parameters

2.2.2 刚度约束

刚度约束分为垂直静刚度约束、水平静刚度约束、动刚度约束等。

（1）垂直静刚度约束。小车在满载情况下行走至跨中位置时产生的挠度最大，记为f，则垂直静刚度约束为：

式中：P1—载荷起升产生的轮压；P2—小车自重产生的轮压；L—主梁跨度；E—主梁材料弹性模量，l1=（L-b）/2，b—小车轴距；［f］=L/800—许用垂直静刚度。

（2）水平静刚度约束。大车启动或制动时，载重小车与主梁自重引起的水平惯性力在跨中位置产生的水平变位fH为：

式中：Iy—截面沿Y 轴的惯性矩；qH—主梁自重产生的水平惯性力；PH—载重小车产生的水平惯性力；［fH］=L/2000—许用水平静刚度。

（3）动刚度约束。载重小车位于跨中位置时，载重量处于最低位置时会产生自振，自振频率为：

式中：g—重力加速度；β—质量影响系数；y0、λ0—额定载重对物品悬挂处和滑轮组产生的位移；［fv］—许用自振频率。

2.2.3 强度约束

强度约束分为跨中正应力约束和跨端剪应力约束。

（1）正应力约束。主梁截面中，跨中位置正应力最大，为：

式中：Mx、My—垂直载荷、水平惯性载荷在跨中截面引起的弯矩；Wx、Wy—跨中截面在垂直方向和水平方向的抗弯模量；［σw］—许用主梁应力。

（2）跨端剪应力约束。跨端截面左右腹板的额剪应力最大，为：

式中：Qmax—端部最大剪应力；Sxd—截面最大静矩；Ixd—截面惯性矩；A0—截面面积；Mn—端部截面的偏心扭矩；δ=2δfa—腹板厚度；［τ］—许用剪应力。

2.2.4 稳定性约束

稳定性约束包括全局稳定性和局部稳定性约束，局部稳定性约束又分为翼缘板局部稳定性和腹板局部稳定性，下面具体分析。

（1）全局稳定性。箱梁的全局稳定性描述为：

式中：h—箱梁全高；bf—腹板高度与翼缘板厚度的和。

（2）翼缘板局部稳定性描述为：

式中：B—翼缘板宽度；δf—腹板厚度；be—腹板外侧间距；δy—翼缘板厚度。

（3）腹板局部稳定性描述为：

式中：σα—腹板局部总应力；σ1—弯曲应力；σm—腹板局部压应力；τ—切应力。

2.3 引入罚函数的轻量化优化模型

罚函数是将约束优化问题转化为无约束优化问题的常用方法，以原目标函数为主体，融入由约束条件构造的惩罚项，得到求解优化问题的辅助函数，求解时使用辅助函数代替目标函数。罚函数分为内罚函数和外罚函数，内罚函数的特征是将罚函数定义域限制在原目标函数的可行域内，其一般形式为：

式中：m—不等式约束条件的个数。则内罚函数构造的一般方法为：

式中：M（x）—恒负值；r∈（0，1）—惩罚因子；k—迭代次数。

在优化过程中，当系统状态接近可行域边界时，罚函数取值为无穷大，受到惩罚极重，从而将系统状态限制在可行域内；随着迭代的进行，惩罚系数rk逐渐趋向于0，使迭代点逐渐向原约束优化问题的最优值靠近。由以上理论可以看出，惩罚项M（x）的构建最为关键，构造时需满足：（1）取值恒为负；（2）当取值点接近边界时，M（x）趋于负无穷。根据此规则，将式（1）～式（7）给出的约束条件构造为：

式中：ϖ—式（1）～式（2）、式（4）～式（7）中相应的参数；［ϖ］—对应的许用量，fv、［fv］与式（3）中意义一致。由此得到主梁轻量化设计的辅助函数为：

式中：f（x）—原目标函数，由式（1）给出；M（x）—惩罚项，由式（10）给出。

3 智能求解方法

第2 节建立了起重机主梁轻量化设计的数学模型，本节以粒子群算法为基础[9]，提出了基于多进化行为粒子群算法的主梁优化模型智能求解方法。

3.1 粒子群算法简介及分析

记粒子群规模为N，粒子群搜索空间维度为D，第i 个粒子的坐标为 Xi=（xi1，xi2，L，xiD），速度为 Vi=（vi1，vi2，L，viD），第 i 个粒子的历史最优位置为 Pi=（pi1，pi2，L，piD），粒子群体最优位置为 Pg=（pg1，pg2，L，xgD），则以第 i 个粒子的第 d 维坐标为例，速度和位置更新方法为：

式中：ω—惯性权重；c1—自身学习因子；c2—群体学习因子；rand—（0，1）间的随机数；t—迭代次数；xtid、vtid—第 i 个粒子第d 维迭代t 次时的位置和速度。

分析式（12）可知，所有粒子在自身惯性、自身历史最优、群体最优的引导下进化，但是群体最优未必为全局最优，当群体最优为局部最优时，在其引导之下整个种群都容易陷入局部极值而无法跳出。另外，粒子群算法模拟鸟群觅食过程提出来的，所有粒子或个体鸟均按照式（12）进行进化，根据生物进化论，单一的进化方式使种群生存和寻优能力较差，多样性的进化方式才能产生种群多样化，进而提高算法寻优能力。根据这一思想，提出了多行为进化粒子群算法。

3.2 多行为进化方法

为了增强种群多样性，根据不同的信息来源，提出四种学习和进化方式：（1）向自身和群体最优学习；（2）向整个群体学习；（3）同时向群体最优和其他个体学习；（4）向种群中其他个体学习。下面进行具体分析。

（1）向自身和群体最优学习，即粒子位置和速度更新方式与式（12）保持不变，但是算法后期在小区域进行精确搜索时，速度更新应更加随机而少些惯性，才能够搜索更加细致，因此对惯性权重进行自适应改进为：

式中：ω—自适应惯性权重；

ωmax、ωmin—权重最大和最小值；

t—当前迭代次数；

T—迭代总次数。

（2）向整个群体学习。以种群质心位置作为整个种群的平均知识信息提供给个体，因此速度更新方法为：

（3）向种群最优和其他个体学习。使用差分算法的方式进行构造，速度更新方法为：

式中：i1，i2∈［1，N］—种群中不同的个体，且要求 i1≠i2。

（4）向种群中其他个体学习。在种群中随机选择3 个个体进行学习，如同个体变异，依然使用差分算法进化方式进行构造，则速度更新方法为：

式中：i1，i2，i3∈［1，N］—种群中不同的个体，且 i1≠i2≠i3。

3.3 进化行为的概率选择

在计算机围棋程序中，选择落子点时会参考当前棋局的立即价值和未来价值，参考这一思想，计算粒子选择不同进化行为的即时价值和后效价值，使用即时价值和后效价值构造出选择不同进化行为的概率。

（1）不同进化行为的即时价值。将进化行为的即时价值定义为迭代一次后适应度的优化程度。将辅助函数即式（11）直接作为适应度函数，则适应度值越小说明粒子越优。粒子Xi采用第j 种进化行为后迭代一次适应度记为fj（Xi，t），则即时价值为：

式中：Valij（t）—粒子i 选择第j 种进化行为的即时价值。

（2）不同进化行为的后效价值。信心上界算法[10]成功应用于计算机棋盘程序中，用于计算棋盘落子点的未来价值，参考这一计算方法，进化行为的后效价值为：

式中：Sucij（t）—粒子i 执行第j 种进化行为的后效价值，分析上式可知，后效价值分为两部分，前半部分为粒子个体未来价值，后半部分为全局未来价值；α∈（0，1）—个体未来价值和全局未来价值的平衡系数；C0—个体所获知识的利用系数，一般有—粒子i 执行第j 种进化行为在第t 次迭代前的成功次数；（t）—粒子 i 在第 t 次迭代前的进化次数—所有粒子执行第j 种进化行为在第t 次迭代前的成功次数—所有粒子在第t 次迭代前的进化次数。

（3）根据不同进化行为的即时价值和后效价值计算选择各进化行为的概率。第i 个粒子使用第j 种进化行为的得分Scoij使用历史经验、及时价值和后效价值综合衡量，即：

式中：i∈［1，N］—粒子编号；j∈［1，4］—进化方式编号；Pij（t）—迭代t 次时第i 个粒子选择第j 种进化行为的概率。

根据各进化行为的得分，建立第i 个粒子使用第j 种进化行为的概率模型为：

式中：Pmin—设置的一个较小的概率值，防止某进化行为被选择概率为0；Pij（t+1）—迭代至t+1 次时粒子i 选择第j 个进化行为的概率。取概率最大的进化方式为粒子i 最终选择的进化方式。

3.4 多进化行为粒子群算法流程图

根据粒子群算法基本原理和不同进化行为的选择方法，制定多进化行为粒子群算法的流程图，如图2 所示。

图2 多进化行为粒子群算法Fig.2 Multiple Evolution Behaviors Particle Swarm Algorithm

4 优化设计与验证

这里设计两部分验证内容：（1）使用仿真的方式验证多进化行为粒子群算法的超强寻优能力；（2）对起重机主梁进行优化设计并进行效果验证。

4.1 寻优能力验证

为了验证多进化行为粒子群算法的超强寻优能力，设置一个高维和一个低维两个测试函数，分别为：

式中：n1、n2—两测试函数的维度，设置 n1=100，即 f1—100 维的高维测试函数；n2=10，即f2为10 维的低维测试函数。寻优目标是求取两个测试函数的最小值，易知两函数最小值均为0，寻优结果越接近0 说明算法性能越好。

为了形成对比，分别使用基本粒子群算法、文献[11]给出的DGLCPSO 算法、多进化行为粒子群算法进行寻优，多进化行为粒子群算法参数设置为：个体未来价值和全局未来价值的平衡系数α=0.5，自适应惯性权重ω∈［0.2，0.9］，自身学习因子c1=1.4962，群体学习因子c2=1.4962，每种算法均独立运行10 次，每次迭代1000 次。运行结果，如表2 所示。平均最优值迭代曲线，如图3、图4 所示。

表2 不同算法的运行结果Tab.2 Operating Result of Different Algorithm

图3 不同算法对测试函数1 的寻优结果Fig.3 Optimizing Result of Test Function 1 of Different Algorithm

图4 不同算法对测试函数2的寻优结果Fig.4 Optimizing Result of Test Function 2 of Different Algorithm

从表2 和图3、图4 可以看出，在低维和高维寻优问题中，多进化行为蚁群算法都能够不断地向最优值靠近，而基本蚁群算法和DGLCPSO 算法寻优精度达到一定程度后就不再下降，这是因为固定的进化方法和单一的知识来源渠道，使算法寻优达到一定程度后就陷入局部极值而无法跳出，而多进化行为能够依赖多渠道信息，自适应调整粒子的进化方法，表现出了极强的寻优能力。

4.2 主梁优化设计

根据第2 节建立的优化模型，将粒子维度设置为6，即粒子在6 维空间中寻优，每个维度的粒子均采用十进制编码方式，寻优空间在表1 中已经给出。算法的参数设置同4.1 节相同，分别使用基本粒子群算法和多进化行为粒子群算法优化主梁截面参数，每种算法运行10 次，每次迭代300 次，在此展示算法10 次运行结果的最优值，并于企业实际生产数据进行对比，结果如表3所示。由于多进化行为例子群算法的超强寻优能力在前文中得到验证，在此不再给出目标函数值随迭代次数的变化曲线。

表3 主梁优化设计结果Tab.3 Girder Optimization Design Result

由表3 中数据可知，目前企业生产的主梁截面积为22160mm2，使用基本粒子群算法进行优化设计后截面积减少为20332mm2，相比企业数据截面积减少了8.25%，多进化行为粒子群算法优化后主梁面积减少为19750mm2，相比企业数据减少了10.86%，这说明我国生产的主梁依然具有很大的优化空间。多进化行为粒子群算法之所以能够取得更好的优化结果，这是因为多种渠道的信息来源，为粒子自适应调整和选择进化行为提供了信息保障，能够使算法不断地向最优解靠近。

4.3 主梁优化结果验证

主梁优化设计是在刚度约束、强度约束和稳定性约束前提下设计的，因此必然满足主梁优化设计的约束条件，但是为了更加直观，在此对刚度约束和强度约束使用有限元法进行分析验证。

主梁情况为：材料为Q235，材料密度为7.86×103kg/m3，泊松比为0.288，材料弹性模量为2.05×105MPa。使用六面体进行网格划分，共生成31577 个单元节点，15811 个单元。

（1）强度验证。满载条件下，小车位于跨中位置时，跨中正应力最大，跨端剪应力最大，在此情况下主梁应力云图，如图5 所示。

图5 主梁应力云图Fig.5 Girder Stress Cloud Map

（2）垂直静刚度与动刚度验证。满载条件下，小车位于跨中位置时，跨中位置的挠度最大，在此情况下主梁应变云图，如图6所示。

图6 主梁应变云图Fig.6 Girder Deformation Cloud Map

为了对优化主梁进行动刚度约束分析，使用有限元分析主梁自振的6 阶模态，在此将模态频率连同刚度和强度分析结果进行展示，如表4 所示。通过图5、图6 和表4 可以看出，粒子群算法优化程度较小，但是保留了更多的应力和应变裕度，多行为粒子群算法的优化强度较高，但是同时增大了应变和应力，但是仍在约束范围内，满足设计使用要求。通过以上验证，充分说明了多进化行为粒子群算法在主梁优化中的有效性和优越性。