7 个思维视角，9 种破解方法——一道解三角形题的求解

◎陶同兵 （江苏省南京交通技师学院，江苏 南京 210049）

解决和三角形有关的问题要求学生不仅要具有较高的数学运算水平，还要善于审题，抓住关键的思维视角切入，采用相应的解题策略，优化解题过程．

一、问题呈现

【问题】（2019 年湖南省娄底市高考数学二模试卷·16）在△ABC 中，a，b，c 分别为角A，B，C 所对的边，若c＝2b，△ABC 的面积为1，则a 的最小值为．

此题以三角形为载体，需结合两边长的关系以及三角形的面积来确定另一边长的最值，主要考查解三角形、三角函数以及最值的求解问题，要求学生要有较强的数学运算能力，以及化归与转化能力等．此题背景简单，思维视角众多，破解方法精彩．

二、问题破解

1．思维视角：解三角形思维．

方法1：（正弦定理法）

解析：由于c＝2b，结合正弦定理可得sin C＝2sin B，

即sin2C＝4sin2B，

则有sin2C-sin2B＝3sin2B，

可得sin（C＋B）sin（C-B）＝3sin2B，

即sin Asin（C-B）＝3sin2B，

则有a2≥3，即，即a 的最小值为，当且仅当sin （C-B）＝1 时等号成立，

2．思维视角：三角函数思维．

方法2：（三角函数有界性法）

解析：结合余弦定理，可得a2＝b2＋c2-2bccos A ＝b2＋4b2-4b2cos A＝5b2-4b2cos A，

而根据三角函数的有界性知3sin A＋4cos A ＝5sin （A＋φ）≤5，则有5-4cos A≥3sin A，

3．思维视角：解析几何思维．

方法3：（坐标法）

解析：以线段BC 的中点为坐标原点，线段BC 所在的直线为x轴，线段BC 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

所以a2≥3，即，即a 的最小值为

方法4：（阿氏圆法）

解析：以线段BC 的中点为坐标原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如上图所示，则

方法5：（斜率的几何意义法）

解析：结合余弦定理，可得a2＝b2＋c2-2bccos A ＝b2＋4b2-4b2cos A＝5b2-4b2cos A，

所以a2＝4k≥3，即，即a 的最小值为

4．思维视角：平面几何思维．

方法6：（几何法）

解析：如图所示，作∠CAD ＝∠B，交BC 的延长线于点D．设CD＝x，

即4x2＝（a＋x）x，可得

所以有a2≥3，即

5．思维视角：方程思维．

方法7：（判别式法）

整理可得16 ＝（a＋b ＋c）（-a＋b ＋c）（a-b ＋c）（a ＋bc）-（a4＋b4＋c4）＋2（a2b2＋b2c2＋c2a2）＝-（a4＋b4＋16b4）＋2（a2b2＋4b4＋4a2b2），

整理可得9b4-10a2b2＋a4＋16＝0，

那么关于b2的一元二次方程的判别式Δ ＝（-10a2）2-36（a4＋16）≥0，

所以a2≥3，即，即a 的最小值为

6．思维视角：基本不等式思维．

方法8：（基本不等式法）

结合c＝2b，可得（a＋3b）（3b-a）（a＋b）（a-b）＝16，

即（9b2-a2）（a2-b2）＝16，

那么有（9b2-a2）（9a2-9b2）＝16×9，

结合基本不等式，可得16×9 ＝（9b2-a2）（9a2-9b2）≤

所以a2≥3，即，即a 的最小值为，当且仅当9b2-a2＝9a2-9b2，即5a2＝9b2，亦即时等号成立，故填答案：．

7．思维视角：导数思维．

方法9：（导数法）

解析：结合余弦定理，可得a2＝b2＋c2-2bccos A ＝b2＋4b2-4b2cos A＝5b2-4b2cos A，

三、解后反思

以上三角形中的最值问题的破解方法涉及函数、方程、三角函数、解三角形、不等式、平面几何、解析几何、导数等众多的知识，串联起初中数学与高中数学中的许多相关知识，思维视角涉及面广，解法精彩纷呈．结合众多不同的思维视角来处理此类解三角形问题，充分展示了解三角形问题中蕴涵的知识与能力．学生通过解决此类问题能够真正提升数学能力，发展数学思维，拓展数学应用，培养良好的数学核心素养．