构造图形求解不等式

◇ 甘肃 王会军

根据欲证不等式的特点观察、类比,充分展开联想,紧扣知识间的横向联系,构造出符合要求的图形,将不等式的问题转化为解析几何中的点、线、图象的位置关系等问题,使问题形象、直观,从而得以简化.

例 1已知实数a,b,c,请证明：取等号的条件是a＝b＞0.

证明b＋c)2两边同时除以a2＋b2并同时开方,得

变形得

不等式①的右边可以看作点P(1,1)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d; 点M代表直线l：ax＋by＋c＝0上的一点,因此不等式①的左边表示点P(1,1)到点的距离,如图1,根据直线外一点到直线上任意一点连线垂线段最短,所以|PM|≥d,当且仅当a＝b＞0,|PM|＝d,原不等式得证.

图1

点评

本题通过变形,将不等式转化成了点到直线的距离关系,根据直线外一点到直线的距离求解,就会使问题得以简化.

例2已知a∈(0,＋∞),函数f(x)＝若函数f(x)≥m2－m恒成立,则实数m的取值 范 围是________.

解析

图2

点评

将不等式通过几何关系转化为两函数图象上两动点之间的关系,再通过图形分析,找到动点之间的极值,得出答案.

例3已知两函数f(x)＝－x2－4x,g(x)＝若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值

范围是________.

解析

根据函数关系可知,f(x)的图象是半圆(x＋2)2＋y2＝4(y≥0),g(x)的图象是一簇平行的直线12x－5y＋5－5a＝0,将函数f(x)和g(x)的图象画在同一坐标系中,要使f(x)≤g(x)恒成立,则g(x)的图象在f(x)的图象上方,如图3所示,则圆心(－2,0)到直线12x－5y＋5－5a＝0的距离满足,解得a≤－9或a≥(舍去),则a∈(－∞,－9).

图3

点评

画出函数图象后将问题转化成两函数图象的位置关系,从而使不等式得证.