空间向量基本定理的应用

◇ 山东 贾荣林

空间向量基本定理与平面向量基本定理相似,都是用相同的一组向量(基底)表示不同的向量.空间向量基本定理是沟通空间所有向量的一个桥梁,通过它可以消除不同空间向量之间的差异,实现某种求解目的.本文结合实例剖析空间向量基本定理的应用.

1 向量分解问题

例1平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC和BD的交点,若则下列式子中与相等的是( ).

图1

解析

点评

空间向量基本定理为空间向量的分解提供理论基础,空间中任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底,基底选定以后,空间的所有向量均可由基底唯一表示.

2 参数求解问题

例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若则x,y的值分别为( ).

解析

图2

点评

空间向量基本定理恰好说明用空间三个不共面的向量组{a,b,c}可以表示出空间中任一向量,而且a,b,c的系数是唯一的,由此可以用来求解一些空间向量线性表达式或某些参数问题.

3 关系量求值问题

例3如图3,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是( ).

图3

解析

所以

综上,EF的长是,故选C.

点评

在解决空间向量中有关线段的长度、向量间的夹角以及位置关系等关系量的求值与应用问题时,往往先设出基底向量{a,b,c},利用空间图形的相应性质,结合空间向量基本定理、模以及数量积等加以分析与求解.

其实,空间向量基本定理是建立空间向量坐标运算的理论依据,通过空间向量的坐标运算,可以处理很多相关的空间向量问题,真正把空间向量的工具性展示得惟妙惟肖.