地震响应反演核电管道中结构参数方法对比研究

薛睿渊，俞树荣，张希恒

(兰州理工大学 石油化工学院，甘肃 兰州 730050)

随着人类对地震认识的加深，对核电站中的系统和设备提出了新的抗震要求，主要包括对现役和在建核电站进行抗震裕度分析[1-2]和对关键设备在高频激励下破坏形式的研究[3]。对于核电站中被划分为抗震重要等级的管道而言，一个准确的动力学有限元模型(FEM)可解决其在服役过程中无法进行试验的问题，对于其健康检测、损伤诊断也是必不可少的。由于管道在加工制造和安装过程中的不确定性，其FEM必然存在一些参数的取值难以准确确定，如支撑为系统提供的约束强度、管道连接件的刚度等。对这些参数的不准确取值会导致实际结构与FEM之间存在偏差。在工程实践中，利用基于模态的FEM修正方法对机械结构模型中的结构参数进行反演分析是一种普遍方法。郭勤涛等[4]总结了FEM修正方法的发展、应用和技术难点。费庆国等[5]指出模态频率和反共振频率是FEM修正过程中优选的两种参数。为减少利用模态进行反演分析的计算量，近年来代理模型法得到了广泛运用[6-7]。但对于核电站中完整的管道而言，准确提取足够数量的模态存在很大难度，因此不能直接使用基于模态的FEM修正方法来反演其模型中的结构参数。

核电站中相对容易获得的与管道相关的振动测量数据是在其服役或模拟运行试验过程中监测到的地震响应。在桥梁工程领域有大量直接利用从环境振动试验中测得的加速度响应进行桥梁寿命和损伤监测的实例[8-10]，但本质使用的试验数据依然是从加速度响应中提取的模态，提取模态的数量和精度对反演过程有很大限制。文献[11-12]报道了直接利用时域振动响应进行参数反演、损伤识别的方法，但这些方法在机械结构中的实际应用还未得到探索。Lin等[13]将结构在基础激励下的响应与激励的比值定义为一种新形式的频响函数(FRF)，然后提出基于FRF残差的可直接使用基础激励下响应数据的FEM修正方法，推导过程中激励与响应均为位移，且假设只有固定节点受力。该方法在航天器FEM修正方面得到广泛运用[14-15]。而管道的相对位移测量难度大、精度低，且地震过程中系统的每个节点均受到惯性力的作用。

本文参考文献[13]，将地震响应与地震激励的比值定义为一种新形式的FRF，以FRF和管道振动控制方程误差为目标特征值，推导二者可通用的基于灵敏度的FEM修正模型。然后基于两种方法利用地震模拟试验测量数据对某管道FEM中的结构参数进行反演分析，对比二者在实践运用中的可行性与差异。

1 修正数学模型推导

基于灵敏度的FEM修正过程的第1步是建立理论和试验特征值之间的偏差与修正参数之间的数学关系，然后通过迭代求解对修正参数进行识别。这种关系可表示为：

ε=b-Adθ

(1)

式中：ε为FEM的建模误差；b为理论与试验特征值之间的偏差；dθ为修正参数的变化向量；A为修正参数取值发生波动时对目标特征值的影响程度，称之为修正参数对目标特征值的灵敏度矩阵。

构造dθ关于ε的罚函数，并对修正参数进行加权同时引入参数的初始估计信息，可得：

J(dθ)=‖ε‖2=(b-Adθ)T(b-Adθ)+

(θ-θ0)TW(θ-θ0)

(2)

式中：J为ε的罚函数；θ、θ0和W分别为修正参数的当前估计向量、初始估计向量和加权矩阵。为向变化较大的参数分配较小的权重，W可取参数估计值协方差矩阵的逆。求解J关于dθ最小值的方法是计算J关于dθ的偏微分并令其等于0，可得：

dθ=[ATA+W]-1(ATb-W(θ-θ0))

(3)

式(3)中当修正参数性质不同时，有必要对参数进行归一化处理以改善修正过程的数值条件。此外，当参与修正的频点计算得到的[ATA]接近奇异时，式(3)难以求得符合实际的解，为提高修正过程的成功率，此处利用Marquardt方法求解式(3)，即将一个正定的对角矩阵与[ATA]相加。规定κi+1=dθi/θi，i为当前迭代步数，数值条件改善后，用于反演分析的迭代数学模型如下：

κi+1=[(Aθi)T(Aθi)+W+λI]-1·

((Aθi)Tb-W(κi-κ0))

(4)

式中：I为单位矩阵；λ为Marquardt方法中需要设置的常数。修正过程λ的取值需根据每一步的迭代结果进行调整，在保证修正过程顺利完成的前提下尽可能地提高达到收敛的速度。相对于以往修正方法中使用最小二乘法对迭代公式进行求解，这样虽增加了计算量，但大幅度提高了顺利完成修正过程的可能性。

将地震响应与地震激励的比值定义为一种新形式的FRF，修正过程以这种FRF的残差为目标特征值时，b和A的数学模型如下：

b=-B(Ht-Ha)

(5)

(6)

式中：B、M和e为修正模型的动刚度矩阵、质量矩阵和单位向量；Ht和Ha分别为实测与理论的FRF向量，可按下式进行计算：

(7)

Ha=-B-1Me

(8)

当以振动控制方程误差为目标特征值时，b和A具有以下形式：

(9)

(10)

对于上述两种方法而言，当p为加速度响应时：

B=M-ω-2K

(11)

当p为位移响应时：

B=K-ω2M

(12)

式中：K为修正模型的刚度矩阵；ω为用于反演分析的频率向量。

综上利用地震响应对核电管道模型中的结构参数进行反演分析的流程如图1所示。

可以观察到上述两种FEM修正方法在推导过程中均不涉及任何模态信息，仅需测量实际结构的地震响应即可完成FEM中结构参数的反演分析。此外，上述修正过程未考虑阻尼，这是因为目前流行的两阶段FEM修正方法[16]已证明阻尼可在建立起准确的动刚度矩阵后通过不同方式进行单独识别，因此本文只对比这两种方法在反演和动刚度矩阵相关参数过程中的差。

2 试验数据采集与管道模型建立

2.1 地震模拟试验

为验证上述两种FEM修正方法在实践运用中的可行性和差异，搭建如图2所示的管道结构并对其进行地震模拟试验。图2所示管道结构总长3.5 m，由两段重3.78 kg/m、φ48 mm×3.5 mm规格的镀锌焊接管通过管接头连接而组成，管接头附近焊接一重为5 kg的法兰盘作为负重。管道与支架通过螺母连接，支架底板通过8个M20螺栓固定在振动台台面。采用电液伺服地震模拟振动台为系统提供水平y方向的人工地震波激励，12个加速度计(A1～A12)吸附在管道上测量试验过程中的加速度响应，同时在地震台台面上吸附1个加速度计(A13)监测台面振动加速度时程。A13测得的人工地震波如图3所示，测点A1～A12测量数据减去A13测量数据即可得到修正过程所需的相对加速度响应。试验管道在人工地震波激励下仅表现出第1阶固有频率，为17.33 Hz。

图1 结构参数反演分析流程图Fig.1 Flow chart of structure parameter inversion analysis

图2 试验结构及测点布置Fig.2 Test structure and arrangement of test point

图3 人工地震波Fig.3 Artificial seismic wave

2.2 建立管道FEM

用无质量的管单元模拟管件，支撑以线性弹簧模拟，建立试验结构的集中质量FEM如图4所示，由15个单元、16个节点构成，模型中节点与试验结构测点一一对应。由于试验管道质量较小，分配于各节点的质量只能在小范围内变化，而这种幅度的变化对管道的动态特性几乎没有影响，因此可认为FEM中质量矩阵是近似确定的。管道左右两端支架如图5a、b所示，由30 mm厚的钢板焊接而成，具有足够的刚度将振动台提供的激励传递至管道，但考虑到支架与管道连接部位在制造和安装过程的不确定性，支架对系统提供的约束强度是随机的，即FEM中线性弹簧刚度的取值是未知的。此外系统左右两端管道外伸出支架的长度是不一致的。单元8对应的管接头位置如图5c所示，管接头制造安装过程中的不确定性、管接头与管件之间螺纹连接松动及外径不均匀等因素造成单元8的弹性模量和惯性矩取值也是未知的。综上，图4中取值未知的结构参数包括左右两端线性弹簧的平动刚度Kt1、Kt2，转动刚度Kr1、Kr2及单元8的抗弯刚度W。W为单元8弹性模量与惯性矩的乘积。

为反演分析过程的顺利完成，需从上述参数中进一步挑选修正参数，且还需从测得的地震响应中挑选用于反演分析的频点，因此需对上述参数进行灵敏度分析。各参数对FRF残差的灵敏度如图6所示，对振动控制方程误差的灵敏度如图7所示。

图4 试验结构的集中质量有限元模型Fig.4 Lumped mass FEM of test structure

a——左端支架；b——右端支架；c——管接头图5 试验结构中参数不确定的部件Fig.5 Component with uncertain parameter in test structure

a——Kt1；b——Kt2；c——Kr1；d——Kr2；e——W图6 结构参数对FRF残差的灵敏度Fig.6 Sensitivity of structure parameter to FRF residual

a——Kt1；b——Kt2；c——Kr1；d——Kr2；e——W图7 结构参数对振动控制方程误差的灵敏度Fig.7 Sensitivity of structure parameter to vibration control equation error

由图6、7可知，上述各参数对两种特征值的灵敏度曲线有类似的趋势，各参数的最大灵敏度均出现在共振频率附近，灵敏度在5 Hz以下也具有较高取值，意味着5 Hz以下测量数据受噪声影响较大，灵敏度取值较低的频率范围为5～13 Hz。不同的是各参数对FRF残差的灵敏度是对振动控制方程误差灵敏度的100倍。值得注意的是，弹簧的平动刚度对两种特征值的灵敏度均远小于其他参数，参考文献[17]的处理方式，反演过程中应将Kt1、Kt2的取值设置为无限大。综上选择模型中的修正参数为Kr1、Kr2和W。

3 参数的反演分析

3.1 反演条件准备

评价一个FEM修正方法性能的两个重要指标是方法的鲁棒性和对修正参数初始估计的依赖性。Kwon等[18]的研究成果表明用于反演分析的频点应在灵敏度较低的频率区域内选择。参与修正的频点避开共振频率的另一重要意义在于可最小化忽略阻尼对反演结果的影响，因为阻尼对共振区域的响应幅值最为敏感。本次试验测得的响应数据在频域受噪声影响随频率的升高而降低，因此选取表1所列4组依次降低的频率组合用于参数的反演分析，以对比两种方法的鲁棒性。

表1 参与反演过程的频率组Table 1 Frequency group used for inversion process

反演分析前还需对修正参数的允许变化范围及初始取值进行估计。由于没有任何工程经验可指导修正参数的取值，应允许各参数在较大范围内变化。修正参数的初始估计列于表2。初始估计Ⅰ是考虑到管道支架由钢板焊接组成，管接头的存在使管件壁厚增大，因此判断弹簧的转动刚度和管接头部位的抗弯刚度应大于管单元的转动刚度(5.9×105N·m/rad)和抗弯刚度(2.86×104N·m6)，其对应的理论基频为19.6 Hz。初始估计Ⅱ则是以理论和实测固有频率吻合为目标，经多次调整而确定的较为准确的初始估计，对应理论基频为17.7 Hz。

表2 修正参数的初始估计Table 2 Initial estimation of updating parameter

由于试验过程中管道转动自由度方向没有外界激励，故可利用静力凝聚法消去FEM中的转动自由度以解决试验过程各测点转动自由度响应未被测量的问题。按照图 1所示流程编制程序实现修正参数的迭代求解。

3.2 利用加速度响应进行反演

采用初始估计Ⅰ，基于FRF残差和振动控制方程误差各参数反演分析结果列于表3、4。将修正后FEM对应的基频与试验结果的相对偏差σ小于1%作为反演结果可靠的一个必要条件。由表3、4可知，当对修正参数的初始估计不准确时，只有使用测量精度较高的地震响应基于振动控制方程误差的方法才能获得可靠的反演结果，即工况4-1(表4中的工况1)。这证明基于振动控制方程误差的方法对修正参数的初始估计依赖性低。

当采用初始估计Ⅱ时，基于FRF残差和振动控制方程误差各参数反演分析结果列于表5、6。

表4 采用初始估计Ⅰ基于振动控制方程误差的反演结果Table 4 Inversion result based on vibration control equation error under initial estimation Ⅰ

表5 采用初始估计Ⅱ基于FRF残差的反演结果Table 5 Inversion result based on FRF residual under initial estimation Ⅱ

表6 采用初始估计Ⅱ基于振动控制方程误差的反演结果Table 6 Inversion result based on vibration control equation error under initial estimation Ⅱ

由表5、6可见，反演结果对应的基频与实测基频之间的相对偏差随测量数据受噪声影响程度的增加而增加。当采用相对准确的初始估计Ⅱ时，基于FRF残差的方法在利用表1所列的前3组频率组合对应的地震响应可获得较为可靠的反演结果，即工况5-1、5-2和5-3。基于振动控制方程误差的方法利用表1所列的前两组频率组合时能获得可靠的反演结果，即工况6-1和6-2。这说明基于FRF残差的方法具有更强的鲁棒性。而工况4-1与6-1的反演结果完全相同进一步证明了当实测地震响应具有足够的精度时，修正参数的初始估计对基于振动控制方程误差方法反演结果的影响较小。值得注意的是，在工况4-1、5-1和6-2中各参数反演结果存在明显差异，但对应理论基频与试验结果的相对偏差均在1%以内，因此有必要通过验证修正后FEM计算所得理论响应的功率谱密度(PSD)曲线与实测响应PSD曲线之间的吻合程度来判断反演结果的可靠性。

采用Rayleigh阻尼模拟该管道的耗能机制。取管道阻尼比为2%，上下截止频率为50 Hz和5 Hz，依据文献[19]中的公式计算该管道对应的理论质量和刚度阻尼系数分别为1.097和1.14×10-4。一般地，理论阻尼系数对应的响应与实测响应之间总是存在一定偏差，由于已建立了该管道的质量和刚度矩阵，参考文献[20-21]，采用手动调整的方法，以各测点理论和实测响应峰值相吻合为目标对理论阻尼系数进行修正。最终确定图4所示FEM中各单元修正后的质量阻尼系数为1.018，与管接头位置对应的单元8的修正后的刚度阻尼系数为1.428×10-4，其他各单元修正后的刚度阻尼系数为8.08×10-5。由阻尼修正结果可知管接头的存在使该管道阻尼分布表现出一定的非比例特点。相对2%阻尼比下的理论刚度阻尼系数，管接头部位的刚度阻尼系数较大而管道阻尼系数较小。

测点7、8、10的理论与实测PSD曲线的对比示于图8。由图8可见，与各工况对应的理论PSD曲线与实测结果在波形上基本吻合，但理论曲线峰值与实测结果之间依然存在差异。这是由大地脉动和振动台驱动油泵的振动引起的试验结构初始状态不为0导致。工况4-1对应的理论与实测结果之间吻合程度最高，说明工况4-1所示的反演结果是最可靠的。对应理论基频十分接近的参数组合计算所得的PSD曲线在幅值上存在明显差异，说明固有频率不能作为反演分析结果可靠的唯一判据，特别是在测得固有频率阶数较少的情况下。

a——测点7；b——测点8；c——测点10图8 理论与实测PSD曲线对比Fig.8 Comparison of theoretical and measured PSD curves

由工况4-1反演结果可知管道FEM中左右两端线性弹簧转动刚度不同，这意味着管道在两端支架的外伸长度不一致，且固定螺母通过手工加工、手动拧紧导致支架为系统提供了不同强度的转动约束。单元8抗弯刚度也小于其他管单元，说明两段管件连接部位相对于其他部位相当于存在一定程度的损伤，管接头的存在并未增加该部位的刚度。

3.3 利用位移响应进行反演

Lin等[13]提出在基于FRF残差的修正方法中，当测量数据为加速度时应将加速度转换为位移完成反演过程。为研究上述两种方法采用不同类型的响应时对反演结果的影响，将表1所列4组频率对应的加速度响应在频域转换为位移对管道FEM中的修正参数进行反演分析。采用初始估计Ⅰ利用两种方法对各参数反演结果列于表7、8，采用初始估计Ⅱ利用两种方法对各参数的反演结果列于表9、10。此时动刚度矩阵采用式(12)的形式。

由表7～10可知，采用位移响应进行反演分析时，只有对参数的初始估计足够精确才能获得可靠的反演结果。工况9-1、9-2和9-3可获得基本相同的反演结果，说明利用位移响应可提高基于FRF残差修正方法反演结果的稳定性。工况9-4、10-3和10-4依然无法获得可靠的反演结果，说明利用位移响应对提高修正方法的鲁棒性没有贡献。此外值得注意的是，在表9、10中低频数据对应反演结果的可靠性高于高频，说明利用位移响应进行反演分析降低了测量精度较高的高频响应数据对应反演结果的准确性，从而增加了两种修正方法对修正参数初始估计的依赖性。

表7 利用位移响应情况下采用初始估计Ⅰ基于FRF残差的反演结果Table 7 Inversion result based on FRF residual under initial estimation Ⅰ by using displacement response

表8 利用位移响应情况下采用初始估计Ⅰ基于振动控制方程误差的反演结果Table 8 Inversion result based on vibration control equation errorunder initial estimation Ⅰ by using displacement response

表9 利用位移响应情况下采用初始估计Ⅱ基于FRF残差的反演结果Table 9 Inversion result based on FRF residual under initial estimation Ⅱ by using displacement response

表10 利用位移响应情况下采用初始估计Ⅱ基于振动控制方程误差的反演结果Table 10 Inversion result based on vibration control equation errorunder initial estimation Ⅱ by using displacement response

4 结论

本文将地震响应与地震激励的比值定义为一种新的FRF，分别以FRF残差和管道振动控制方程误差为目标特征值，利用模拟地震响应对某一管道系统FEM中的结构参数进行反演分析，对比二者修正过程得到以下结论。

1) 基于FRF残差的FEM修正方法具有更强的鲁棒性，而基于振动控制方程误差的FEM修正方法对修正参数的初始估计依赖性较低，在合适条件下，二者识别结果具有类似的精度。

2) 采用位移响应可提高基于FRF残差修正方法反演结果的稳定性，但导致两种方法在利用受噪声影响较小的高频响应进行修正时反演结果准确性降低，反而增加了修正过程对参数初始估计的依赖性。

3) 利用地震响应对核电管道FEM中的结构参数进行反演是一种简便可行且更加科学的方法，一方面避免了附加的模态提取试验和传统的FRF测量试验，另一方面解决了不同参数组合对应相同模态时反演结果可靠性难以评价的困难。

4) 本文方法并不限于地震响应，也可直接利用其他类型基础激励下的响应来完成核电管道中未知结构参数的反演分析。对于已安装状态的管道系统而言，可实时监测其服役过程中安装楼板位置的振动和管道在楼板激励下的响应来反演其结构参数。对于典型支撑和连接设备应建立其修正后模型的数据库，在类似系统的建模中直接使用。

核电管道在服役过程中的任何振动测量数据都有潜力作为反演其结构参数的试验数据。管道的自激振动是比较常见的，如文献[22]中提到的主蒸汽隔离阀气流诱发的管道振动，只要能构造出管道的振动控制方程，亦可按照本文方法进行修正，难点在于如何确定激励的相关信息，这将是下一步的研究方向。