地球中微子能谱计算及初步高阶修正

冒 鑫，韩 然，李玉峰

(1.北京卫星环境工程研究所 可靠性与环境工程技术国防科技重点实验室，北京 100094；2.中国科学院 高能物理研究所，北京 100049)

地球中微子来自于地球内部放射性元素，如铀(U)、钍(Th)、钾(K)的β衰变[1-7]，由于在衰变过程中伴随着热量的产生，所以这些元素又称为生热元素(heat generating elements, HGEs)。地球中微子是一种探测地球内部放射性元素分布以及结构的新途径[8-9]。日本的KamLAND合作组[10-11]和意大利的Borexino合作组[12-14]在实验上观测到地球中微子信号后，地球中微子便一直是国际上中微子研究的热点。KamLAND和Borexino的最新结果已把地球中微子的观测置信度分别提高到了7.9和5.9倍的标准偏差[14]。下一代能观测到地球中微子的液闪探测器实验——加拿大SNO+[15]和中国JUNO[16-17]也处于建造当中，即将投入运行并取数，这无疑会极大地推动地球中微子科学的研究。尽管实验已观测到了地球中微子，但因为中微子反应截面太小以及目前所使用的液闪探测器缺乏有效的方向性信息，许多地球科学的问题有待进一步研究，包括区分U和Th衰变产生的地球中微子、区分来自于地幔的地球中微子以及检验已存的放射性生热模型。

地球中微子能和其他本底(主要是反应堆中微子)区分开，是因为不同元素衰变产生地球中微子以及各种本底的能谱不同。地球中微子能谱依赖于放射性元素衰变链中不同末态能量的β衰变道，可用理论计算得到。目前常用的能谱是日本学者Enomoto于2005年为研究KamLAND地球中微子而计算的[18]，包含U、Th、K元素衰变产生的地球中微子，分别使用了U和Th衰变链中82条和70条衰变道信息，目前许多地球中微子的研究(信号预测以及探测灵敏度等)使用的都是这个能谱[16,19-21]。但该能谱仅考虑了库仑相互作用，把原子核近似为没有形状有质量的点粒子，忽略了原子核形状等其他因素带来的影响。地球中微子能谱的精度对于地球中微子的研究极其重要，本文使用更加详细的衰变道信息计算238U、232Th的地球中微子能谱，并通过加入一些初步的高阶修正来提高能谱的精度。

1 地球中微子

1.1 地球中微子产生

地球中微子是地球内部放射性同位素β衰变产生的，包括238U、232Th、40K和87Rb，由于87Rb的天然丰度十分低，其产生的地球中微子基本上探测不到，一般不考虑来自于87Rb的地球中微子[9]。这些同位素的半衰期有的甚至比地球的寿命还长，衰变公式如下。

(1)

在衰变产生地球中微子的同时也会释放出巨大的热量，这个方式产生的热能是驱动地球演化的主要地热来源之一[22-23]。单位时间内产生地球中微子的数目(地球中微子亮度)和放出的热量还存在着固定关系，可通过测量地球中微子的通量间接得知放射性生热，这是实验测量地热最理想的方式之一，如下式所示[9]。

L=7.64m(U)+1.62m(Th)+27.10m(K)

HR=9.85m(U)+2.67m(Th)+3.33m(K)

(2)

其中：L为地球中微子亮度，1024s-1；HR为生热率，1012W；m为地球上U、Th、K元素的质量，1017kg。

1.2 地球中微子振荡及预测

sin4θ13≈0.55

(3)

其中，θij(i，j=1,2,3分别代表ve，vμ，vτ)为中微子混合角。

同位素X衰变产生的地球中微子，经过振荡到达探测器的通量可用以下表达式进行计算：

(4)

从通量计算的公式可看出，预测地球中微子通量必须建立描述元素丰度的地球化学模型以及描述地球深度、密度结构的地球物理模型。除一些常见的全球模型[27-30]，为精确预测来自于地壳的地球中微子，还需根据实验地点建立更精确的局域地壳模型[31-33]。除此之外，准确的能谱也是不可缺少的。

1.3 地球中微子探测

目前，主要依靠地球中微子与有机液闪(或掺Gd液闪)里面的自由质子(或Gd)发生反应来探测地球中微子，如下式所示。

(5)

这个反应为反β衰变(inverse beta decay, IBD)。在IBD反应中，1个反电子中微子与1个质子反应，会释放出1个正电子和1个中子。正电子会很快湮灭并释放出2个能量为0.511 MeV的γ光子，形成1个快信号。中子则会出现一个慢化过程，通过多步的散射降低能量，最终被质子(或Gd原子核)捕获，同时释放出1个约2.2 MeV(或8 MeV)的光子，形成1个慢信号，如图1所示。同时，中子被捕获的位置距离其产生顶点约30～50 cm。通过快慢信号时间和空间位置符合，就可从大量本底中筛选出地球中微子的信号[34]。

图1 IBD过程Fig.1 Process of IBD

IBD反应的阈值能量是1.806 MeV，约等于中子和质子质量差与电子的静止能量之和。低于1.806 MeV的反电子中微子不能被探测到，目前所能探测到的地球中微子只来自于238U和232Th，来自于40K的不能被探测到，本文能谱计算只考虑238U和232Th。

2 地球中微子能谱计算

2.1 单个β衰变道能谱计算

只考虑单一衰变道，最大电子能量为Emax的β衰变电子能谱可用如下公式计算[9，18]：

(6)

其中：GF为费米常数；|M|为跃迁矩阵元；Z为衰变子核质子数；F(Z,Ee)为代表原子核库仑相互作用的费米函数，费米函数可用以下公式表示。

F(Z,Ee)=2(1+γ)·

R=0.426αA1/3

α=1/137.035 989

(7)

考虑到中微子和电子总能量守恒，可把β衰变电子能谱转变为反电子中微子能谱：

(8)

2.2 238U、232Th β衰变能谱

与已知末态能量(中微子最大能量或电子最大动能)的单一衰变道相比，238U和232Th的衰变链要复杂得多。图2、3分别为238U、232Th衰变到末态原子核的衰变链，从图中可看出，从初态原子核衰变到末态原子核，中间包含着许多不同的中间态原子核和衰变。238U衰变链中共有9个中间态原子核可发生β衰变放出反电子中微子，分别是234Th、234Pa、218Po、214Pb、214Bi、210Tl、210Pb、210Bi、206Tl。232Th含有5个，分别是228Ra、228Ac、212Pb、212Bi、208Tl。其次，每个衰变母核又会衰变到不同激发态的子核，放出不同能量的电子和反电子中微子，构成对应不同末态能量的衰变道。

图2 238U 的衰变链Fig.2 Decay chain for 238U

基于238U和232Th衰变链中所有衰变道信息，使用式(6)计算每个衰变道的中微子能谱并将其归一化，再根据每个衰变道在衰变链中所占的比例叠加，就可计算出同位素X衰变产生的地球中微子能谱，如下式所示。

图3 232Th的衰变链Fig.3 Decay chain for 232Th

(9)

其中：Σ为反应截面；Rij为母核i衰变到子核j的β衰变在衰变链中所占的比例；Ik为第k个衰变道在该β衰变中所占的比例；N为该衰变道能谱的归一化系数。将衰变链头元素比例设为1，β衰变i→j在衰变链中的占比Rij可根据分支比逐步推导得到：

Rij=RparentRbranch

(10)

其中：Rparent为母核i在衰变链中的占比；Rbranch为i到jβ反应的分支比。

对于每个衰变道在β衰变i→j的比例Ik以及末态能量，实验上已有相对完整的测量，可从核数据库(National Nuclear Data Center, NNDC)中查到。

图4 计算得到的地球中微子能谱Fig.4 Geo-neutrino spectra by calculation

表1 238U衰变链中有效的衰变道Table 1 Effective β transition in 238U decay chain

表2 232Th衰变链中有效的衰变道Table 2 Effective β transition in 232Th decay chain

2.3 与Enomoto能谱对比

图5为计算的238U、232Th能谱与Enomoto能谱的比较结果，图中虚线是计算能谱与Enomoto能谱的比例。可看出，基本上比例接近1，差别较大的是1.806 MeV以下的低能部分，主要是因为在低能部分本次计算使用了许多新的衰变道。

图5 计算的238U、232Th能谱与Enomoto能谱对比Fig.5 Comparison of calculated 238U and 232Th energy spectra with Enomoto’s energy spectra

3 初步高阶修正

式(6)在计算β衰变能谱时，包含描述自由电子在原子核库仑场作用下运动的费米函数，是对该运动方程最主要的修正，但也把原子核假设成了没有形状有质量的重核，从而忽略原子核形状带来的影响[35]。其次，β衰变的光子辐射以及弱磁相互作用等也会带来一定的影响，对精确计算能谱来说这些影响不可忽略。

3.1 β衰变的分类

β衰变是一种辐射β粒子(正负电子和中微子)的衰变[36]，是一种弱相互作用，包括β+衰变(放出正电子)和β-衰变(放出电子)。β衰变根据发射β粒子的角动量和自旋可分为不同的类别[37]，不同类别衰变难易程度不同。轻子的轨道角动量(L)和自旋角动量(S)之和是总角动量(J)，在衰变中原子核总角动量是守恒的，如下式所示。

Ji=Jf+Lβ+Sβ

(11)

其中：Ji为初态原子核角动量；Jf为衰变末态原子核角动量。根据轻子是否携带轨道角动量可分为允许衰变和禁戒衰变。L=0时为允许衰变，其中S=0时为超级允许衰变，也叫Fermi衰变，这种衰变非常快，半衰期很短；S=±1时为 Gamow Teller衰变。L不等于0时为L度禁戒衰变，随着度数的增加，反应也越来越难发生。另外，根据初末态核角动量变化量(ΔJ)与轨道角动量(Lβ)是否相等，可把衰变分为是唯一的还是不唯一的，相等则不唯一，不相等则唯一。

低禁戒程度的衰变分类总结列于表3，根据NNDC数据库中的衰变道信息，238U、232Th衰变链主要包含5度以下的禁戒衰变，高禁戒度的可根据以上方法递推。

表3 β衰变分类Table 3 Type of β decay

对于通过能量守恒计算的中微子谱，高禁戒度的β衰变修正影响较小[35，38-41]，且在地球中微子能谱中的占比很低，本文假设所有衰变均是Gamow Teller类型的允许衰变(ΔJP=1+)来进行初步的修正。

3.2 主要的高阶修正项及对单一衰变道的修正量

主要考虑4项高阶修正，分别是电磁相互作用有限形状修正项、弱相互作用有限形状修正项、辐射修正项以及弱磁修正项，如下式所示。

(12)

有限形状修正是由于实际的原子核并非点粒子，主要表现为原子核电荷分布或超荷分布不是一个点，可分为电磁相互作用形状修正和弱相互作用形状修正。为描述有限形状修正，须先明确原子核半径，原子核半径和原子的质量数A有关，计算能谱时使用的是简化公式(式(7))，本文采用更详细的Elton公式[42]。

R=0.002 9A1/3+0.006 3A-1/3-0.017A-1

(13)

0.41(R-0.016 4)(αZ)4.5

W=Ee/me

(14)

bx的取值列于表4[43]。

表4 参数bx取值Table 4 Value for parameter bx

(15)

其中：

(16)

其中：

弱磁修正项用δWM表示，对于不同禁戒度的β衰变，弱磁修正的方式有所不同[45]，另外，还需考虑额外轻子动量带来的修正，叫做形状因子。考虑到238U和232Th β衰变道以允许衰变类型为主，2度及以上禁戒衰变道数仅占5%，本文初步假设所有衰变道均是1+的GT衰变，并加入GT类型的弱磁修正，对应的形状因子为1，不带来影响。

(17)

其中：MN为核子质量，等于质子和中子的平均质量；gA=1.26，为轴矢量耦合常数；μv=4.7，为核子同位旋矢量磁矩。

以末态能量为3.270 MeV的214Bi→214Po衰变道为例，加入以上4项高阶修正，修正量如图6所示，可知，对于214Bi→214Po衰变道的修正，这4项高阶修正引起的相对误差在7%以内，电磁相互作用有限形状修正影响最大，GT类型的弱磁修正影响最小，而弱相互作用有限形状修正和辐射修正介于两者之间。从图6可看出，在该能量范围内，电磁相互作用和弱相互作用有限形状修正接近线性分布。

3.3 与210Bi β实验谱的比较

目前实验上缺乏对238U和232Th整体β衰变能谱的测量，本文使用210Bi原子核β衰变的测量能谱[46]与计算结果进行对比，210Bi β衰变主要包含末态能量为1.162 MeV的衰变道，如图7所示，图7a为210Bi的实验及计算的微分能谱，图7b为加与不加修正能谱与实验能谱的相对差别随电子动能的变化。从图7可知，加入修正可使能谱的精度有所提高，且能量高的部分更显著。

图6 对单一衰变道(214Bi→214Po，Ep=3.27 MeV)高阶修正结果Fig.6 High-order correction to single beta transition(214Bi→214Po, Ep=3.27 MeV)

图7 210Bi实验和计算β能谱比较Fig.7 Comparison of experimental and calculated β spectra for 210Bi

3.4 对238U和232Th地球中微子能谱进行修正

对238U和232Th共196个不同末态能量的衰变道加入以上4项高阶修正，最后得到的地球中微子能谱修正量如图8、9所示。与单一衰变道相比，4项高阶修正项单独对能谱带来的修正量大小排序相同，由于接近线性分布的电磁相互作用和弱相互作用有限形状修正占主要部分，总的修正量也体现为线性，如图8、9中红线表示，可知，238U能谱高能部分的最大误差达8.5%，232Th最高4.5%，对于精确计算能谱，这是不可忽略的。

图8 238U 能谱高阶修正结果Fig.8 High-order correction to 238U spectrum

图9 232Th 能谱高阶修正结果Fig.9 High-order correction to 232Th spectrum

4 总结

地球内部放射性元素衰变释放出的热量是驱动星球演化的主要能源之一，而地球内部放射性元素分布以及其物理结构很难利用现有技术手段进行准确研究。地球中微子实验探测的进展，给这一系列问题的解决提供了契机。而能谱对于地球中微子研究是不可缺少的前提条件，精确计算的能谱对于地球中微子的预测、本底分析等具有重要的意义。

本文利用核数据库中的最新数据计算了238U和232Th β衰变放出的地球中微子能谱，分别使用了113和83条衰变道的信息，相比目前使用较多的Enomoto计算的能谱增加了许多低能端的衰变道。除此之外，考虑到能谱计算时只包含了库仑力的影响，而忽略了原子核形状、辐射、弱磁相互作用等带来的影响，本文在计算能谱的基础上，对单一衰变道和总的238U和232Th能谱加入了电磁相互作用有限形状修正、弱相互作用有限形状修正、辐射修正以及1+类型的GT允许β衰变的弱磁修正。对于这4项高阶修正单独带来的相对误差，单一衰变道和能谱修正的结果较类似，依次是电磁相互作用有限形状修正引起的修正量最大，弱相互作用有限形状修正和辐射修正次之，GT允许β衰变的弱磁修正量最小。对于238U能谱，4项高阶修正总的修正量最大达8.5%，对于精确计算能谱，这些影响是不可忽略的。本文添加高阶修正后的地球中微子能谱，可应用于地球中微子的精确预测及分析。

在添加弱磁修正过程中，考虑到高禁戒度衰变在所有衰变道中占比很小，把所有衰变道近似为1+类型的GT允许β衰变。虽然这种类型衰变占能谱主要部分，但在以后进一步的研究中，需针对不同禁戒度的衰变道加入对应的弱磁修正以及形状因子修正。