直角坐标系的传奇故事

林革

在平面直角坐标系诞生前.代数和几何作为数学最重要的两个分支，在很长的时间里各自独立发展.

直角坐标系通常也叫笛卡儿坐标系，是为了纪念创始人——法国著名哲学家和数学家笛卡儿而命名的.笛卡儿1596年出生于法国安德尔一卢瓦尔省的一个贵族家庭.由于体质孱弱，当8岁的他进入教会学校后，校长特批笛卡儿早晨不用起床出操，可他并没有把时间用在睡眠上，而是从此养成了早晨躺在床上看书或者思考的习惯.

1612年，16岁的笛卡儿进入巴黎普瓦捷大学，由于接触到大量哲学和自然科学的书籍，他的思考更加深入和专注，兴趣和爱好开始转向数学.当他以最优成绩获得法学学位后，毅然加入军队，决定跟随扣人心弦的鼓号去周游世界、体验生活，以便阅读世界这本大书.

笛卡儿在军营中一直潜心思考一个看似自然却异常深奥的问题：代数和几何独立发展自成体系，有什么办法能让数学的两大分支结合起来呢？因此如何构造两者之间桥梁成了笛卡儿日思夜想的内容.于是，就出现了直角坐标系从天而降、由梦而来的传奇故事，

【版本1】在1619年11月10日这个特殊的日子里，一切看起来与以往没什么不同.患病请假的笛卡儿还是躺在床上进行思考，主题仍是一直困扰着他的代数和几何联系的途径.就在他绞尽脑汁一筹莫展之时，天花板上一只爬来爬去的蜘蛛无意间引起了他的兴趣.这只蜘蛛正忙着在天花板靠近墙角的地方吐丝结网，它忽而沿着墙面爬上爬下，忽而沿着吐出的丝在空中缓缓移动，看着看着，笛卡儿眼睛发亮若有所悟.因为他朝思暮想的问题中，最大的障碍就是如何构造几何的点与代数的数之间的对应关系，蜘蛛给了他极大的启发，

不知不觉天色已晚，既疲倦又兴奋的笛卡儿带着焦急而愉快的心情进入梦境，头脑中却总浮现着这只悬在半空中的蜘蛛，笛卡儿突然意识到：如果用两面墙的交线及墙与天花板的交线作为参照系，那么应用长、宽、高上的三个数不就能确定蜘蛛的空间位置了吗？猛然惊醒的他一下从床上爬起来，在纸上画了三条互相垂直的直线，分别表示两面墙的交线及两面墙与天花板的交线，并用一个点表示空间的蜘蛛.图形清晰地印证了思路的正确性，只要测出这个点到三个平面的距离，就可以准确标出蜘蛛的空中位置.受此启发，笛卡儿毫不费力地得出用有序数对（a，b）表示平面上一点P的方法.直角坐标系由此产生.

【版本2】1619年11月10日，笛卡儿随军驻扎在多瑙河畔的一个村庄里，兵营中灯火通明，官兵们用美酒歌声驱散战争的阴影.而笛卡儿则早早上床，沉浸在自己的数学世界中.也许是长时间的思考使笛卡儿的头脑一直处于高度兴奋状态，也许是预示着奇迹的发生，总之，那一夜他做了梦，他梦见自己突然得到了一把金钥匙，并顺利打开一个大门，只见遍地的珍珠绚烂夺目，他忍不住随手捡起一根珍珠项链，突然线断珠落，转眼间光华顿失，一切化为虚无.定睛四顾，只见一只黑色的苍蝇疾飞，在他眼前不断留下掠过的痕迹：一条条直线和各种形状的曲线.这时笛卡儿心头隐隐跳动似要开窍，恰在此时，苍蝇猛然停住，并在网状结构中幻化成一个黑点，从梦里一下惊醒的笛卡儿若有所悟，而天花板上一只结网爬行的蜘蛛让他立刻豁然开朗：用两面墙的交线及两面墙与天花板的交线，不是可以确定它的空间位置吗？

他一骨碌从床上爬起来，在纸上画了三条互相垂直的直线，分别表示两面墙的交线和两面墙与天花板的交线，用一个点表示空间的蜘蛛.这样.测出这个点到三个平面的距离，就可以准确标出蜘蛛的空间位置点P（如图1）.类似地，用一组数（a，b）可以表示平面上的一个点，平面上的任一点可以用一对有顺序的数来表示（如图2），这就是直角坐标系的雏形，

【版本3】1619年11月10日，夜色笼罩下的一个夜晚，多瑙河畔的乌尔姆小镇万籁俱寂，镇中扎下的一排军用帐篷里的士兵们已酣然入睡，只有一个23岁的士兵辗转反侧夜不能寐，他就是正服军役的笛卡儿，躺着的笛卡儿看着帐篷外的星空，不自觉念叨：满天繁星像豆子一般杂乱无章，如果用数学方法，怎么表示它们的位置呢？而这正是他一直在思考却没有头绪的问题——几何与代数的结合途径.想着想着，笛卡儿进入了梦乡.

在梦中，排长一把拉起笛卡儿向外拖去，边走边说：“你不是整日研究，想用数学来解释自然和宇宙吗？我告诉你个妙法，”身不由己的笛卡儿只得任由摆布，只见排长从身后抽出了两支箭，拿在手里搭成一个“十”字.箭头一个朝上，一个朝右，他将“十”字举过头说：“你看，这交叉的两支箭把天空平面分成四个部分.假定这两支箭能射无限远，天上这么多星星，随便哪一颗，你只要从那颗星星向这两支箭上分别引两条垂线，就会得出两个数字，这颗星星的位置就被表示得一清二楚了.”

笛卡儿若有所悟，但他还是提出了疑问：“那些抽象的负数，人看不见摸不着，又怎么表示呢？”排长哈哈一笑：“只要将这两支箭的交叉处定为零，向上、向右是正数，向下、向左不就是负数吗？比方说，这乌尔姆镇是交叉点，多瑙河上游是正，下游是负，右岸是正，左岸是负.我们就可以随时用两个数表示出来位置了.”

笛卡儿恍然大悟，大叫：“这真是个好主意！”狂喜之间竟一下子跌入河中.当他猛然惊醒时，发现排长正站在他面前大声嚷嚷：“开拔了，快起床，还在做什么美梦！”笛卡儿待在原地不敢动弹，生怕灵感消失，好在闭目之间梦境依然清晰，他连忙取出纸笔进行记录，画出一条横线为x轴，画出一條竖线为y轴，又在x轴、y轴上标出许多正负刻度，直角坐标系由此跃然纸上.

以上三个版本，虽然可信度无从考证，但笛卡儿的发现毋庸置疑、令人惊喜，笛卡儿在回忆录中写道：“第二天，我开始懂得这一惊人发现的基本原理.”后来，由这样两条互相垂直、原点重合的数轴所组成的坐标系，就被人们称为笛卡儿坐标系，这成为一门崭新学科——解析几何的基础.