e、π：“数”你最好两奇葩

【摘 要】 在茫茫数海中，有两个大放异彩的数，一个是π，一个是e，它们是“数”字百花园中的两朵奇葩.那么，π到底是一个什么样的数？为什么千百年来，人们对它寻寻觅觅，孜孜以求？e的应用精彩广泛，尤其在微积分中，可以说是微妙有趣.那么e究竟有什么实际意义？為什么以e为底的对数叫自然对数？本文从新的视角对π和e进行观察、分析和研究，并尝试探讨它们之间的关系，使广大读者认识到数e和数π的神秘性和美妙性，抛砖引玉，以此激发人们对它们做进一步研究.

【关键词】 数学;常数;π;e;奇葩

数字像一部未知世界的百科全书，人类读这部大书已经数千年，但还远未读懂.数的稠密性告诉我们，在数轴上，无论用怎样薄的刀片，一刀切下去，总是会“鲜血淋漓”，因为一定会有一个数被“杀”死，真是茫茫“数”海，繁若星辰.在这众多的数中，有许多“美丽”的数，如完全数（等于除本身之外的全部因子之和的数，如6，28等），无理数（如2、3等），充满人性的数（如5，是第一个大于1的奇数与偶数之和，因为奇数象征着男性，偶数象征着女性，所以人们把5叫做“爱情”之数）.在数的“百花园”中，更有两朵奇葩，神秘莫测而又圣洁美好，让人难以 释“怀”，欲罢不能，那就是被人们叫做圆周率的“π”和自然对数的底“e”.

1 众里寻“π”千百度

π是数学中最著名的数，忘记自然界中所有其它常数也不会忘记它， 如果数字也有诺贝尔奖，那么π必列其中.

π是什么？是圆周率，即圆的周长与其直径的比值，与圆的大小无关，是刻画圆这类图形最重要的数据，但凡涉及“弯曲”、“转动”、“角度”等，都要用到圆周率，如求圆的周长、球的体积、扇形弧长等，甚至有时涉及到那些和圆周毫不相关的地方.几千年来，人们多么渴望能准确求出这个神秘的数值啊！为了这个数值，千百年来，多少人进行了苦苦探索，阿基米德、托勒密、张衡、祖冲之、牛顿等一大批数学大家曾经为之发奋，为之着迷，甚至不惜一生的精力.

公元前2000年左右，古巴比伦人取圆周率为3，我国天文学专著《周髀算经》中也提到“径一周三”，古埃及人使用时取之为3.16.古罗马人使用的圆周率是3.12.著名的古希腊学者阿基米德，曾取π为317.我国魏晋时期的刘徽创造了用割圆术求圆周率的方法，刘徽之后，研究圆周率最有名的的是我国南北朝时期的祖冲之，在公元480年左右计算的圆周率，准确到小数点后七位：3.1415926<π<3.1415927.祖冲之是世界上第一个把圆周率算到小数点后七位的数学家，这是一个非常了不起的成就，人们把3.1415926叫做“祖率”，用这个数值计算一个半径为10千米的圆面积，误差不超过6平方米，然而人们希望算出更为精确的圆周率.

对π的探索可分为三个时期：

早期：十六世纪末之前，主要是实验法和几何法，代表人物是刘徽、阿基米德、祖冲之和荷兰数学家卢多夫·范·柯伦等.此时π的值多是凭直观推测或实物度量而得，其值相当粗略.历史上π首次出现于埃及，1858年苏格兰一位古董商人偶然发现了在古埃及莎草纸上的π数值.1610年，荷兰人为π建立了一座不可思议的纪念碑，上面刻有卢多夫用262边形所求的带有35位小数的π值，卢多夫为此花费了毕生精力.

晚期：计算机的介入，1946年世界上第一台计算机问世，计算机的介入使π的值越来越精确.1949年，马利兰德使用计算机，将到π的值精确到小数点后2037位;1967年计算机将π的值精确到小数点后50万位数;六年后，又进展到100万位，1983年，精确到600万位.2002年，日本东京大学信息基础中心宣布，他们已将圆周率计算到了小数点后12411亿位.假设1秒钟读4位，读完这个圆周率需要花费1万年.

π是一个无理数，这一点被约翰·兰伯特于1768年证明，π是一个超越数，是德国数学家林德曼在1882年证明的，由此也说明我们永远无法知道π的精确数值，可是数学家们为什么没完没了地去计算它的值呢？除了它能引发新的概念和思想、检验软件的性能，反映一个国家的文化发展水平外，其个中之味只能去慢慢品，真是众里寻他千百度.

有人试图在关于π的展开式中能够发现一些东西，例如在π的第710000位开始，连续出现了七个3，即3333333，在π的第一个1000万位小数中，数字5，7，8也都有各个长度为七的数字串出现.长度为六的数字串，则有87个之多，上升数列23456789出现在小数点后995998位，下降数列876543210则始见于第2747956位，让人诧异的是：自然对数的底数e=2.718281……的小数部分前六位组成的数字串“718281”在π的展开式中也能找到.神奇的是π小数点后三位相加恰是第一个完全数6，小数点后7位相加正好是第二个完全数28，真是不可思议！有一个很有趣的故事，故事发生在19世纪末，说的是有一个名叫古德温的医学博士，向印第安纳洲立法院提出一条议案，希望将π变成“易理解的”，以固定它的值，可是提议者自己却没有能力知道他想要固定的值是多少，最后不了了之.π是那么的神秘，无法变成“易理解的”，但是如果我们从“角度”这个角度去看它，可能就轻易解决了这个难题，π不就是180°吗？！一个普通得不能再普通的角度而已.

2 “e”在灯火阑珊处

在中学教科书中e是这样被提出的：以e为底的对数就做自然对数.那么e究竟是一个什么样的数？它到底有什么实际意义呢？为什么以e为底的对数叫自然对数？甚至还比圆周率π还大放异彩呢？

2.1 e的前世今生

π的意义很鲜明，就是一个圆的周长与其直径的比值，那么e的意义是什么？是一个比值吗？不是，它是一个极限值，是单位时间内，持续的翻倍所能达到的极限值.人们在研究银行存款、细胞繁殖、放射性元素的衰变等实际问题时，都要研究当趋于无穷时的值.于是人们定义：当x无限趋向无穷大时1+1xx的值就是e.

因为以e为底编制对数表最好，许多式子都能得到简化，用“它”是最自然的，且y=lnx的反函数y=ex的导数就是其自身，所有把e作为自然对数的底数.e也是数学中最重要的常数之一，有人叫它纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔引进对数，也有人称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名.e的数值约是2.71828 1828…，据记载， 第一次提到e的是约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表——由它为底计算出的一张自然对数列表.第一次把e看为常数的是雅各·伯努利（Jacob Bernoulli）.而已知的第一次用到常数e是在莱布尼茨给惠更斯的信中，不过当时并不是用e来表示的，直到1727年，欧拉才首次用e作为数学符号使用.到1736年，e第一次才在出版物，即欧拉的《力学》中出现.虽然以后也有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准.用e表示的确实原因不明，但可能因为e是“指数”（exponential）一字的首字母.也有可能是因为这是欧拉自己名字Euler的首字母，对此，无法考证.e是无理数和超越数，由夏尔·埃尔米特（Charles Hermite）于1873年证明的，但最先推测e是超越数的是法国数学家刘维尔，那时是1844年.

2.2 e的生活原型

e离我们生活很远吗？到底如何理解e是单位时间内，持续的翻倍所能达到的极限值呢？其实e的生活原型很多，最贴近我们生活的就是利息的计算，为此首先要理解复利是怎么回事，就是利息也可以并进本金再生利息.本利和的多少，与计息周期有很大关系，计息周期越短，其本来利和越大，如果计息周期无限缩短，本利和会无限大吗？答案是否定的，它的无限趋近于某一个数值，e就现身在该数值当中.

银行储蓄可能帮助理解e的内涵.假设在银行存了1元钱（下图圆圈所示），存款年利率为1，计息周期为1年，满1年后银行付给利息1元（三角形所示），存款余额为2元（如下图）.

如果计息周期改为半年，半年利率是0.5，每半年付一次利息，并且随即就存入银行，利息生新的利息（下图斜四边形所示），1年存款余额为2.25元.

如果计息周期为4个月，并且新产生的利息也随即存入银行，利息再生新的利息（下图六边形所示），年底的余额≈2.4414元.

图3如果计息周期为一天，这样利滚利的余额≈2.7146元.假设计息周期为1秒，每秒都再存入，本利总额额接近2.7182818元，如此下去，总的利息就越来越接近于并且不会突破一个常数，这个常数就是e.用表格可能更清晰.

数学家欧拉把这个极限記作e，e=2.71828…，即自然对数的底.

除了复利计算以外，事实上还有许多其他的生活原型，问题虽然不都一样，答案却都殊途同归地指向e.比如，其中一个有名的问题就是求双曲线y=1x底下的面积，双曲线和计算复利会有什么关系，可是这个面积算出来，却和e有很密切的关联.蓦然回首，原来生活中处处有e.

2.3 e的不同寻常

e在自然科学中的应用不亚于π，放射性物质的衰变，地球年龄的考察，生物的繁殖等很多增长或衰减过程都要用到e，都可以用自然对数函数模拟问题的研究.e还会在意想不到的地方出现，如最大乘积问题：将一个数m分成若干等份，要使各等份乘积最大，应分成多少份？要解决这个问题便要同e打交道，答案是：使均分成的份数与me最接近时或者说使等分的各份尽可能地接近e时，它们的积最大.又如：求y=xx的最大值，也居然与e有关，就是当x=e时取到，最大值为ee≈1.445;以e为底的指数函数，它是唯一的多次求导仍是自己的函数;1592年，15岁的高斯发现了素数定理：在数列1，2，3，…，N中，所含素数数与N的比值，近似等于1lnN，并且N的值越大，就越接近，直到100年后，素数定理才被证明.

关于e，神奇的结论还有很多，此处不再赘述.

3 金风玉露一相逢

π和e是两个最重要的数学常数，两个无限不循环小数，也是两个超越数，但它们诞生的历程、背景却极不相关，应该是“风马牛不相及”，可是因为它们的神奇，多少年来，人们一直试图探寻它们之间的关系，还真有不少说不清道不明的东西，如π和e的前36位小数展开式中，第13位是相同的，第17，18，21，34位也都是相同的，曾经有人以惊人的毅力继续干下去，提出一个猜想：“π和e的小数展开式从大体上说来，平均每10位就要出现一次数字相同.”对此猜想，人们不能证明，但也未能否定.如果改变“参照物”，我们以最朴素的二进制来观察：

这个恒等式人们把它叫做欧拉公式，它将数学里最重要的两个超越数联系到了一起，初看上去没什么了不起，仔细想想，简直不可思议！1，0，π，e，i这五个数和两个运算符号“+”，“=”.按来源和出现的历史顺序，它们相差很远，1是正整数也是实数的基本单位，出现得最早，0的出现要晚的多，是唯一的中性数，最小的自然数，i来源于代数，关于i所代表的数的合理性讨论则是16世纪以后的事，π来源于几何，e来源于分析，“π”很早就为古巴比伦人和古埃及人所知，至于“e”直到19世纪，其神秘的面纱才被揭开，这7个在不同历史时期出现而又在性质上相去甚远的不同数字与符号，居然统一在一个如此简洁的式子里，真是集简洁、和谐、奇异等美学要素于一身，让人惊叹不已.e与π都非常复杂且看似极不相关，它们却能通过一个简洁公式联系在一起，真是惊人，难怪人们评价它是“上帝创造的公式.

有诗赞曰：

最美之公式

e顶“ i π”，+ 1 同侧舞，

“= ”担平衡， 异侧0似无，

五数性各异，两个不同符，

相聚在一起，天地古今殊.

金风玉露一相逢，便胜却人间无数！“e”和“π”这种关系，有一首歌词，似乎为它们量身定做：一个是阆苑仙葩，一个是美玉无瑕.若说没奇缘，今生偏又遇着他;若说有奇缘，如何心事终虚化……（《枉凝眉》）

真是：茫茫“数”海到天涯，百花园中两奇葩，金风玉露一相逢，数你最好“e”“π”！

作者简介 刘权华，教育硕士，南京市教育科学研究所科研员，南京市高中数学学科带头人，江苏省“333”高层次人才工程中青年科学技术带头人，在省级及以上期刊发表教育教学论文60余篇.主要研究方向：高中数学教育教学，教师发展研究.