品味中国玩具中的数学文化

童广鹏

(河南省民权县高级中学，476800)

中国玩具文化源远流长,远在新石器时代就出现了人类原始的玩具,如陶哨、石球等,随着中华民族经济、科学技术、文化艺术的不断发展,创造出了众多绚丽多彩、精巧迷人的玩具.就中国玩具的人文价值取材而言,中国玩具是艺术与实用的结合,二者合为一体.数学是一门严谨的科学,更是一种代代相传的文化,因此挖掘其数学文化意义非凡.下面举例说明.

一、鲁班锁

鲁班是春秋时代鲁国人，他的木工接榫(构件上利用凹凸方式相接)技术一流，后人尊称他为木匠宗师、巧圣先师.为了纪念他，人们把“三星归位”，“六子连芳”(六个小部件，分别为礼、乐、射、御、书、数)这些连锁式益智玩具称为“鲁班锁”， 这也是早年木工师傅授徒时让徒弟练习榫头的样本.中国古代盖皇宫、庙宇不可使用铁钉，怕破坏风水而必须用接榫互锁的方式.直到现在，中式木匠仍然将它代代相传.鲁班锁实际上是一种涉及立体几何的玩具，通过几何分割，可以组成许多锁定方式.

例1鲁班锁(孔明锁)是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称.从外表上看,它由六根等长的正四棱柱体分成三组,经90°榫卯起来,如图1.若正四棱柱体的高为6,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为______.(容器壁的厚度忽略不计)

评注采用补形的方法,将鲁班锁内置于一个长方体中,利用长方体的对角线可找到所求球的半径.此类高考题虽然以文化题形式出现,但万变不离其宗,在解题的过程中不能偏离所学的数学公式,不能因为问题的形式变了而不知解题思路.

二、九连环

九连环在中国具有悠久的历史，其娱乐性、健身性一直为热爱益智游戏的人们所称道.九连环被西方认为是人类发明的最奥妙的玩具之一，其引人之处在于游戏过程中环环相扣的连续性.九连环是在长方形的框架上排列着九个圆环和九根立柱，圆环之间环环相扣其间还贯穿着一枚细长的叉套，而且叉套也被重重的立柱阻隔.解连环就是通过一系列动作取下叉套.英国著名科学家李约瑟认为，九连环起源于中国最古老的计算器——算盘.

例2九连环是我国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷(如图2).据明代杨慎《丹铅总录》记载:“两环互相贯为一,得其关捩,解之为二,又合而为一”.按照某种规则解开九连环，至少需要移动圆环a9次.我们不妨考虑n个圆环的情况，用an表示解下n个圆环所需的最少移动次数，用bn表示前(n-1) 个圆环都已经解下后，再解第n个圆环所需的次数，按照某种规则可得:a1=1a2=2,an=an-2+1+bn-1,b1=1,bn=2bn-1+1.

(1) 求bn的表达式;

(2) 求a9的值并求出n为奇数时an的表达式;

解(1)由bn=2bn-1+1，得bn+1=2(bn-1+1),则bn+1=(b1+1)·2n-1=2n,即bn=2n-1.

(2)由an=an-2+1+bn-1，得an=an-2+2n-1，故a9=a7+28=a5+28+26=a3+28+26+24=a1+28+26+24+22=341.

评注解决九连环问题,主要是求an的递推关系.an=an-2+2n-1说明了第n次与第n-2次的关系,利用这个条件可以得到整个数列的项.

三、围棋

围棋,起源于中国,中国古代称为“弈”.传为帝尧所作,春秋战国时期就有记载,可以说是棋类之鼻祖,至今已有4000多年的历史.围棋在隋唐时经朝鲜传入日本,流传到欧美各国,西方名称“Go”.围棋蕴含着中华文化的丰富内涵,它是中国文化与文明的体现.

解设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C,则C=A+B,且事件A与B互斥.

评注本题利用互斥事件概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)求解,基本事件的确定是互斥事件运用的前提.

四、七巧板、十五巧板

十五巧板,清朝浙江省德清知县童叶庚(1828-1899)在同治年间(1862年)所发明,童叶庚将一个正方形切割成十五块,并将这十五块拼板叫做益智板.出版收录全家创作图案的《益智图》以推广此玩具,推出后蔚为风潮.童叶庚益智板的板块数字15是根据易经的卦与爻而来的:一太极、二仪、四象、八卦故板块为:一个平行四边形、两个半圆形、四个弧角和八个(四对)多边形.这些数字(1、2、4、8)相加正好是15，因此又称之为十五巧板.

例4十五巧板,又称益智图,是一种类似七巧板的智力游戏,由十五块板组成,其中的三角形均等腰直角三角形(如图4(a)).它为清朝浙江省德清知县童叶庚在同治年间所发明,能拼出草木、花果、鸟兽、鱼虫、文字等图案.图4(b)是用十五巧板拼出的一个正在跑步的人的图案.从该图案中任取一点,该点恰好落在阴影部分中的概率为( )