有限维实单Balinsky-Novikov超代数的分类

夏利猛 赵珊珊

摘要： 有限維Balinsky-Novikov 超代数可以看作是Novikov 代数的一类超模拟， 其仿射化给出了一类重要的无限维李超代数. 本文主要叙述了它们的一些性质， 并给出了实数域上有限维单Balinsky-Novikov 超代数的完全分类.

关键词： Balinsky-Novikov 超代数; Novikov 代数; 幂零; 分类

中图分类号： O153.3文献标志码： ADOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.201911018

0 引言

Novikov 代数是一种与李代数密切相关的代数， 它是Gelfand 和Dorfman 在研究形式变分算子中的Hamilton 算子[1] 时产生的. Novikov 也在有关流体力学型线性泊松括号[2] 中发现了相同的代数. 而最终Novikov 代数是由数学家Osborn 命名的[3]. Novikov 代数是一种特殊的预李代数， 或称为左对称代数， 出现在许多数学和物理学的文章中[4]. Zelmanov 对特征为0 的代数闭域上的所有有限维单Novikov 代数进行了分类[5]， 而对于特征大于2 的代数闭域， Osborn 和徐晓平也对其进行了分类[6-7]. 最近， Guediri 实现了它在R 上的分类[8]. 低维Novikov 代数的分类及相关问题也得到了广泛研究[9-12]. 我们要指出， Novikov 代数的仿射扩张是一种有趣的方法， 可以用来实现Virasoro 代数及其扩张[2，13-15].

Novikov 代数有两类本质上不同的超对称扩张： 一个是由Balinsky 介绍的Balinsky-Novikov 超代数[16]， 另一个是徐晓平介绍的Novikov 超代数[17]. 并且这两类代数均在可积系统和共形场理论中起着重要的作用， 所以对这些超代数的分类是非常重要和有必要的. 目前， 低维Novikov 超代数的分类已经取得了一些结果[18-19]. 最近， 刘东、裴玉峰以及本文第一作者[20] 对特征 的域上的所有有限维单Novikov 超代数进行了分类， 证明了每个Novikov 超代数都是平凡的， 这意味着Novikov 超代数没有新的单结构.

BN 超代数（即Balinsky-Novikov 超代数） 常被用来构造一些线性向量值函数的局部平移不变李超代数， 它们可以与物理学中一类重要的无限维李超代数相关联， 其中包括super-Virasoro 代数以及一些无穷维李超代数和顶点超代数， 它们可以通过具有不变双线性形式[13，16] 的BN 超代数自然实现.而关于BN 超代数的抽象研究是从1987 年由Balinsky 开始的， 他对C 上所有有限维单BN 超代数进行了分类， 证明了每一个BN 超代数都同构于C 或一个非平凡的2 维超代数. 另外， 对于低维的BN 超代数的分类， 目前也有一些成果[21].

本文中， 我们主要研究了实数域上的有限维BN 超代数. 证明了Novikov 代数的Zelmanov 定理的一个超模拟[5]： 如果一个BN 超代数b 是右幂零的， 那么b2 是幂零的. 最后， 我们给出了有限维单Balinsky-Novikov 超代数在实数域上的完全分类.

本文内容组织如下： 第1 章介绍了Novikov 代数和BN 超代数的一些符号， 并罗列了一些已知的结果; 第2 章中， 我们证明了BN 超代数的几个重要性质以供使用; 第3 章， 给出了有限维单Balinsky-Novikov 超代数在实数域上的完全分类.

本文中， 总假设F 是一个域， 分别用C、C*和R 表示全体复数、非零复数和实数的集合.

[ 参 考 文 献]

[ 1 ] GELEAND I， DORFMAN I. Hamiltonian operators and algebraic structures related to them [J]. Func Anal Appl， 1979， 13： 13-30.

[ 2 ]BALINSKY A， NOVIKOV S. Poisson brackets of hydrodynamic type， Frobenius algebras and Lie [J]. Soviet Math Dokl， 1985， 32：228-231.

[ 3 ] OSBORN J. Novikov algebras [J]. Nova J Algebra， 1992（1）： 1-14.

[ 4 ] BURDE D. Left symmetric algebras， or pre-Lie algebras in geometry and physics [J]. Cent Eur J Math， 2006（4）： 323-357.

[ 5 ] ZELMANOV E. On a class of local translation invariant Lie algebras [J]. Soviet Math Dokl， 1987， 35： 216-218.

[ 6 ] OSBORN J. Simple Novikov algebras with an idempotent [J]. Comm Algebra， 1992， 20： 2729-2753. DOI： 10.1080/00927879208824486.

[ 7 ]XU X P. On simple Novikov algebras and their irreducible modules [J]. J Algebra， 1996， 185（3）： 905-934. DOI： 10.1006/jabr.1996.0356.