借助模型，让深度学习在课堂自发而生

谢文锋 周章松

“倍的认识”是“数与代数”领域的一节概念课。它是兩个量之间的比率关系，即先确定一个标准量，再判断比较量里面包含了几个标准量，就是标准量的几倍。这节课不好理解，有一定难度。笔者有幸在第七届“新课堂·新教师”海峡两岸基础教育交流研讨活动中，聆听了李喜融老师执教“倍的认识”一课。李老师的这节课立足数形，始终让学生在各种模型中进行观察、思考，借助比较，运用具有正面导向作用的语言，让学生不断在变中寻找不变，感悟概念本质。深入浅出的教学，效果甚佳，给笔者诸多的启迪，现将个人的一些感受与同行分享。

一、巧借模型，凸显概念本质

学生在日常生活中很少遇到关于倍的实际问题，加之它是加法结构向乘法结构过渡的关键点，思维存在跳跃性，学生在认知上存在障碍。怎样教才能让学生学得清晰明了，让他们不会“遇到倍就乘”呢？李老师这节课大力借助“形”这一载体，教得扎实有效。

1. 依托不同结构的学习，建立倍的模型。

课伊始，李老师就着眼于“2倍”这一基本的倍数关系。李老师通过设计两个基本问题展开教学。①如果红花比黄花多一些，你猜红花有几朵？请画一画。（在出示3朵黄花的基础上提出）让学生在画图中感受两种花之间存在比较关系。②6和3之间，能否用一个算式表示？完成上述活动后，李老师巧妙引导学生思考：2藏在哪？如何知道这是2？你们是怎么想的？学生在画一画、圈一圈等活动的基础上，借助已有的“份”的经验，从而引出2倍的概念。在这一教学过程中，李老师提供了两种直观模型：一为标准化模型，二是变异式模型。这两种模型均为以形为主的直观图，有利于学生在直观中观察，直观中比较，直观中抽象。如图1是标准模型。学生由于是初次接触倍的知识，标准的直观化结构设计，加上李老师高度重视学生完整地表达倍的认知过程：把3朵黄花看成1份，6朵红花就有这样的2份，表示2个3，所以红花的朵数是黄花朵数的2倍。图文并茂，学生学有所获。

只有标准化结构显然是不利于学生进行深层次思考的，学生对倍概念的建立也是有所欠缺的。基于这样的考虑，李老师又提供了变异式模型，学生通过比较相同之处与不同之处，引导他们辨清倍这一概念的本质特征。在变中寻找不变，从而厘清倍的内涵，帮助学生实现从加法结构到乘法结构的质的飞跃。这一变异式结构在课堂中又是分为两层来处理的。

（1）当标准结构教完后，紧接着李老师出示一组无序的黄花与红花图（图2）并提问：“这时红花的朵数还是黄花的2倍吗？为什么？”借助这一变异结构的教学，通过师生交流，引导学生关注倍的研究与标准量和比较量有关，关键是把哪个量看成标准量，另一个量是标准量的几份，而与顺序无关。

（2）学生前面的学习都是借助具体数量来感知、理解倍。怎样脱离实物来理解倍的特征，引导学生从实物的角度过渡到数之间的对比，实现对倍的深层次理解？李老师安排了两个小环节来实现这个目标。①李老师出示图3：“绿色长方形是黄色的几倍？你想怎么做？”②进一步将实物图抽象成线段图（图4），李老师：“这还是5倍吗？如果黄色是4颗小星星，红色呢？黄色是5本书，红色又是什么？”通过这两个环节的教学，学生把思维聚焦在倍的量性特征上面，他们对倍的认知达到了一定的高度。

2. 借助“变化”，深入理解倍的含义。

本课中，李老师也非常重视“变化”学习带来的效率。他主要通过三个层次的变化来进行教学：一是标准量与比较量同时在变化;二是比较量不变，标准量在变化;三是标准量与比较量的转化。

在第一层次变化中，李老师引导学生拓宽对倍的认知。通过“假如红花是黄花的3倍，那这幅图是什么样的，请你画出来”这一问题，打开学生的思维闸门。通过学生动手画，展示不同类型的作品（有以3朵、4朵、5朵黄花为1份，以及在原来基础上减少黄花朵数为1份的）。在师生交流的基础上李老师又适时地抛出问题：“同学们能写得完吗？有什么规律？什么变了什么不变呢？”学生在这样的思维碰撞中对倍的认识更加深刻了。第二层次变化以一个问题展开（图5），让学生思考：“红花是黄花的几倍？”学生要依据所想的倍数来确定标准量，通过画一画的形式探究倍数变化的原因所在，感悟标准量的重要性。第三层次变化则是随着标准量的数量不断地变化，比较量的数量也随着变化。此刻，在表述倍的关系时，标准量与比较量也会随之变化。在“化茧为蝶”这个环节，当出现茧与蝶都是6只时，李老师不失时机地问：“现在可以怎么说？”学生：“茧是蝴蝶的1倍。”李老师：“还可以怎么说？”学生：“蝶是茧的1倍。”李老师：“同学们这两句话看上去都是说茧与蝶的1倍关系，但是实际上它们是不一样的。茧是蝶的1倍，是把谁看成1份？蝶是茧的1倍又是把谁看成1份呢？”通过这样的一个例子，让学生深刻感受到当标准量（即1份量）不一样，比较量也会随着变化，在描述倍的关系时，也是随之变化的，它们所表示的意义是不一样的。这三类变化由浅入深，层层推进，学生学起来会存在一定困难，好在李老师能充分应用“形”这一手段，让学生在画一画、圈一圈等直观活动中实现目标。

二、适时拓展，彰显倍的前后联系

倍这一知识的生长点是两数相差关系及相应的乘除法知识，倍的后续教学是一种应用——一个数的几倍多几、少几的实际问题。怎样沟通知识间的前后联系呢？本节课李老师也在这方面做了一定的探究。①课伊始，李老师利用黄花与红花的数量，提出：“6和3之间，能否用一个算式表示？”学生1：“6-3=3。”学生2：“二三得六。”学生3：“6÷3=2。”通过师生交流，逐步引出所学知识。这样的过程，让学生清楚知道知识从何而来，学得明白。②新知教学之后，就进入对这个知识的应用阶段，即求一个数的几倍多几的实际应用。为了拓展对倍的认识，也为了之后的教学，李老师作了以下设计。（当黄花为4朵，红花为6朵时）师：“现在是几倍呢？”学生异口同声：“不可能，没戏了。”李老师：“真没戏了，仔细看看，有戏。”学生：“1.5倍。”李老师：“超过1倍了，有2倍吗？”之后师生结合图像得出这样的表述：红花朵数是黄花的1倍多2朵。接着出示黄花5朵、红花6朵，让学生用这种方式描述两种花之间的关系。③在“化茧成蝶”这个环节，当茧为7只、蝶为5只等不是整倍的关系时，李老师又再一次要求学生结合图像用语言来描述。这样的教学，既加深学生对倍的认识，又拓展了学生对倍的知识的储备，为后续教学奠定了基础。

三、妙用语言，激发学生参与意愿

这节课中，李老师特别重视语言的正面评价功能。课伊始，大屏幕就呈现“做更好的自己”这6个字，进而提问：“做更好的自己是什么样的表现呢？”又如，最后一个环节，李老师不着急知识的练习巩固，而是这样展开：“你知道什么是化茧成蝶吗？”学生1：“是一个茧慢慢地变成蝴蝶的意思。”学生2：“一只虫变成了茧，又慢慢变成了漂亮的蝴蝶，这是有过程的。”李老师：“你看，我们的学习就是这样一个过程。”学生3：“我们都是从‘初步的认识到‘很认识的。”李老师：“漂亮的蝴蝶就是这样变出来的，没有努力是变不了的，你们要变成更好的自己，就要努力学习思考。”又如，当学生由困惑到豁然开朗时，李老师便及时跟进：“你进步了，这是最主要的，相信你能成为更好的自己。”这种应用正面导向语言的方式，极大地引发了学生的内在成就感，使得学生参与学习的意愿大大加强，为课堂增色不少。

（作者单位：福建省霞浦县教师进修学校 责任编辑：王彬）