双模压缩Fock态在量子相位估计中的应用

侯丽丽 王 帅

(江苏理工学院 数理学院，江苏 常州 213001)

在量子光学中，双模压缩Fock态(TMSFS)是一类较为普遍且具有一定意义的非高斯型量子态.理论上，TMSFS态可以由一个双模压缩算符作用于双模Fock态上而获得，即

|TMSFS〉=S2(r)|m,n〉,

(1)

式中S2(r)=exp[r(a†b†-ab)]是双模压缩算符，r为压缩参数.由式(1)结合双模压缩算符的Bogolyubov变换，容易得到TMSFS态的平均光子数为

(2)

根据式(2)，TMSFS态的平均光子数在给定初始压缩参数r的情况下，随着双模Fock态|m,n〉的粒子数m和n增加而增大.TMSFS态最早由Chizhow等人[17]提出，该非高斯型量子态的光子数分布性质、纠缠性质等非经典性质已经得到了较详细地研究[18,19].2018年，向少华等人[20]还研究了TMSFS态的非高斯动力学演化的特征.最近，我们详细研究了对称的TMSFS态(即m=n)在MZI干涉仪的相位测量精度中的性能表现[21].研究发现，基于量子Fisher信息理论，在给定初始压缩参数的情况下，增加双模Fock态的粒子数，对称的TMSFS态可以提高量子Cramér-Rao(QCRB)界限，这一相位测量精度的最终极限.另一方面，基于宇称测量所得到的相位测量精度在待测相位很小时可以达到QCRB界限.所以，对于对称的TMSFS态，宇称测量是一种最优测量方案.

与文献[21]不同，本文将考虑一般的TMSFS态(包括非对称的情况，即m≠n)在量子相位估计中的性能表现.与双模压缩真空态相比，研究非对称的TMSFS态是否也能提高量子Fisher信息，进而改善QCRB界限.与此同时，分析宇称测量方案所得到的相位测量精度能否达到QCRB界限，即对于非对称的TMSFS态，宇称测量是否也是最优测量.另外在理论上，本文考虑的情况还包括两种重要特例：(1) 当m=n=0时，即双模压缩真空态,它作为MZI干涉仪的探测态，相位测量精度可以达到海森堡极限[22]；(2) 当r=0时，即一般的双模Fock态|m,n〉，该量子态在量子精密测量中的应用也已经得到研究[8].

1 马赫-曾德尔干涉仪中的量子Fisher信息

图1 马赫-曾德尔干涉仪结构示意图

(3)

(4)

(5)

式中Hm,n(x,y)是双变量厄密多项式

(6)

这里把TMSFS态用相干态表象来表示，即

(7)

(8)

尽管式(8)的形式比较复杂，但是它却能极大地简化后文中的计算.

下面，我们首先计算TMSFS态作为MZI干涉仪探测态时的量子Fisher信息.干涉仪的相位测量最终精度由基于量子Fisher信息的QCRB界限所确定[25]

(9)

对于量子纯态作为MZI干涉仪的探测态，相应的量子Fisher信息可基于输入量子态计算给出[26]

(10)

根据式(1),经繁琐计算可得

(11)

式(11)是本文的第一个主要结果.根据式(9)和(11)容易看出，在给定初始压缩参数r的情况下，增加双模Fock态的m和n的取值，QCRB界限必然会得到提高.这主要是由于在给定初始压缩参数的情况下，TMSFS态所含有的平均光子数随着m和n的增加而增大，正如式(2)所示.因此，在给定初始压缩参数的情况下，与双模压缩真空态相比较，一般的TMSFS态是可以有效提高相位测量的最终测量精度.因此，即使是在m≠n情况下，TMSFS态依然可以有效提高QCRB界限.

特别地，在极端非对称情况下，譬如取n=0(m≠0)，式(11)退化为下面的简单形式

(12)

显然，给定初始压缩参数的情况下，增加m的取值依然会有效提高QCRB界限.另一方面，若是根据探测态的总光子数，式(12)又可改写成

(13)

可见，限定探测态都具有相同平均光子数的情况下，增加m的取值反而会削弱QCRB界限.正如文献[21]所指出的，在限定探测态都具有相同平均光子数的情况下，与TMSFS相比较，双模压缩真空态在MZI干涉仪中的相位测量精度反而是最好的.量子态所含有的平均光子数是量子精密测量中的一个重要参数.由以上分析可见，TMSFS态的优势在于给定初始压缩参数时，它的平均光子数会随着m和n的增加而增大，从而导致了其Fisher信息的增大.

2 宇称测量方案与相位的测量精度

宇称测量方案是测量微小待测相位常用的一种测量方法.已经证明对于许多非经典态作为MZI干涉仪的探测态[4-6,8-11,13-15]，它是一种最优测量方案.特别地，对于一类路径对称的量子态，理论上已经证明了在某些特殊相位点，宇称测量方案能够达到QCRB界限，是最优测量[27].对于一般的TMSFS态，本文主要研究宇称测量方案所给出的相位测量精度是否能够达到QCRB界限，即宇称测量方案是否是最优测量方案.

(14)

(15)

注意到以下积分公式[30]

(16)

(17)

式中〈Πb(φ)〉0是当双模压缩真空态作为MZI干涉仪的探测态时，相应的宇称测量信号

(18)

在推导式(17)的过程中，与文献[22]相同，方便起见，本文也做了一个相位变换φ→φ+π/2. 该式是本文的第二个主要结果.特别的，在r=0时，TMSFS态退化为双模Fock态|m,n〉，由式(17)可得当双模Fock态作为MZI干涉仪探测态时的宇称测量的信号为

(19)

这与文献[8]的结果相一致.

特别地，与式(12)相对应，当n=0时宇称测量信号式(17)退化为

(20)

应用勒让德多项式的产生函数[31]

(21)

式(20)还可以写成如下简洁形式，即

(22)

应用式(12)和(22)从数值上可方便的检验，对于这种非对称的TMSFS态，宇称测量是否是最优测量.

利用误差传播理论，干涉仪的相位测量精度为[28]

(23)

式中已经利用了〈Π2(φ)〉=1这一事实.当m=n=0时，把式(18)代入式(23)，就得到了双模压缩真空态作为MZI干涉仪的探测态时，相位的测量精度为[22]

(24)

文献[21]已经指出，在限定探测态具有相同的平均光子数时，与双模压缩真空态相比，对称的TMSFS态并不能改善QCRB界限.从数值上可以证明对于非对称的TMSFS态的情况也是如此.因此，本文主要考虑在给定压缩参数的情况下，一般的TMSFS态是否可以改善QCRB界限，宇称测量所得到的相位测量精度是否能够达到QCRB界限.

图2(a)表示在不同的(m,n)取值的情况下，相位测量的最终理论极限QCRB界限随压缩参数的变化曲线.显然，在给定初始压缩参数的情况下，增加(m,n)的取值，是可以有效改善QCRB界限的.这一结果与式(11) 相符合.图2(b)则代表宇称测量在待测相位趋于零时(此处取φ=0.001)所得到的相位测量精度随压缩参数的变化曲线.图2表明，在待测相位趋于零时，宇称测量所得到的相位测量精度能够达到QCRB界限.因此，宇称测量对于m=n时的TMSFS态来说是最优测量方案.但是，当m≠n时的非对称TMSFS态作为MZI干涉仪的探测态时，由图3(a)可见，在给定初始压缩参数的情况下，增加双模Fock态的粒子数m和n的取值虽然可以提高QCRB界限，但宇称测量所得到的相位测量精度并不能达到QCRB界限.而且，非对称TMSFS态所提供的相位测量精度甚至比双模压缩真空态要差很多，特别是在m>1和n=0的情况.因此，与双模压缩真空态相比，在给定初始压缩参数的情况下，虽然非对称的TMSFS能够有效改善QCRB界限，但宇称测量并不是该量子态的最优测量方案.

图2 具有(m,n)不同取值的对称TMSFS态在φ=10-3时，相位测量精度随初始压缩参数r的变化曲线(a) 基于量子Fisher信息所得到的最终测量界限QCRB界限；(b) 基于宇称测量所得到的相位测量精度

图3 具有(m,n)不同取值的非对称TMSFS态在φ=10-3时，相位测量精度随初始压缩参数r的变化曲线(a) 基于量子Fisher信息所得到的最终测量界限QCRB界限；(b) 基于宇称测量所得到的相位测量精度

3 结论

本文研究了TMSFS态作为MZI干涉仪的探测态，它在相位测量精度中的性能表现，给出了相应的量子Fisher信息和宇称测量结果的解析表达式.研究结果表明，一方面根据基于量子Fisher信息理论，在给定初始压缩参数的情况下，TMSFS态可以进一步值提高相位测量的最终界限，即QCRB界限.另一面基于宇称测量方案，只有当m=n时的对称TMSFS态，宇称测量在待测相位趋于零时才是最优方案.而对于m≠n的情况，宇称测量所得到相位测量精度并不能达到QCRB界限.因此，本文研究结果也再次证明了，对于某些非经典态，宇称测量并不总是一种最优测量方案.