受振幅阻尼和热噪声共同影响的克尔介质主方程的解析解

孟祥国 刘钧毅

(聊城大学 山东省光通信科学与技术重点实验室、物理科学与信息工程学院，山东 聊城 252059)

由于强克尔介质非线性系统在非破坏性测量[1]、量子计算[2]和单粒子探测[3]等方面有着重要应用，但环境噪声对克尔介质非线性强度的减弱作用又是不可避免的[4-6]，故噪声克尔介质中光场的非线性相互作用在目前受到广泛关注.如，文献[7]和[8]分别讨论振幅阻尼和热环境影响下克尔介质中系统的密度算符、维格纳函数以及光子数分布随时间的解析退相干演化规律；文献[9]研究了在非线性克尔介质和参量振荡器作用下相干态的时间演化，并分析了不同哈密顿量参数下的概率振幅、自相关函数和Husimi分布函数；而文献[10]考察了耗散克尔介质中相干态的传输特性，发现非线性相位噪声限制了具有“类克尔”非线性耗散单模玻色通道上以相位变量传输经典信息的能力.

然而，以往的研究主要集中讨论单一噪声(如振幅阻尼[7]、热噪声[8]等)对克尔介质中光场的非线性作用的影响.作为重要的推广，Stobińska及其合作者首先把克尔介质“浸”在振幅阻尼和热噪声同时存在的环境，并通过数值求解和分析维格纳函数满足的福克-普朗克方程，揭示了共同存在的两种噪声对克尔介质中光场的影响[11].与Stobińska的数值求解方法不同，本文利用连续变量热场纠缠态表象[12,13]，解析求解了受振幅阻尼和热噪声同时影响的克尔介质主方程，并给出了含时密度算符的无限维克劳斯算符和表示.

1 受两种噪声影响的克尔介质的量子主方程

根据马尔科夫近似理论，当克尔介质受振幅阻尼和热噪声同时影响时，系统的含时密度算符在相互作用表象中满足量子主方程[11]

(1)

式中ρt为t时刻系统的密度算符，a(a†)为系统的湮灭(产生)算符，Γ为振幅阻尼系数，N=1/(eħ-1)为热库的平均光子数，参数ћ,ω,k和T分别为普朗克常数、谐振子频率、玻尔兹曼常数和热场的温度.κ为与克尔介质的非线性极化率χ(3)有关的非线性常数.特殊地，当N→0且Γ为有限值时，主方程(1)变成了受振幅阻尼噪声影响的克尔介质的量子主方程[7]

(2)

当Γ→0且N→时，这样ΓN(≡ε)为有限值，主方程(1)变成受热噪声影响的克尔介质的量子主方程[8]

(3)

而当Γ→0且N→0时，主方程(1)退化为描述克尔介质的主方程，即dρt/dt=-iκ[(a†a)2,ρt].因此，利用热场纠缠态表象去分析受两种噪声影响的克尔介质中密度算符的解析演化是非常有意义的.

2 热场纠缠态表象

根据Umezawa-Takahash热场动力学理论，在扩展的福克空间中，文献[12,13]引入了描述系统与环境之间量子纠缠的热场纠缠态|τ〉，其具体表达式为

(4)

式中D(τ)为平移算符，b†为环境(虚)模的产生算符，与系统(实)模的产生算符a†相对应，且存在对易关系[b,b†]=1和[b,a†]=0.当把系统和环境的湮灭算符a,b分别作用到态|τ〉，可导出如下本征方程

(a-b†)|τ〉=τ|τ〉, (a†-b)|τ〉=τ*|τ〉,〈τ|(a†-b)=τ*〈τ|, 〈τ|(a-b†)=τ〈τ|.

(5)

(6)

a|τ=0〉=b†|τ=0〉,a†|τ=0〉=b|τ=0〉,a†a|τ=0〉=b†b|τ=0〉,

(7)

故在纠缠态|τ=0〉下，系统(实模)和环境(虚模)的算符存在如下对应关系

a⟺b†,a†⟺b,a†a⟺b†b,

(8)

利用此对应关系能把方程(1)中的密度算符主方程转化为关于态矢量|τ=0〉的方程.

类似地，引入另一个与态|τ〉共轭的热纠缠态|ζ〉，其具体的表达式为

(9)

它们具有如下完备正交性

(10)

3 噪声克尔介质主方程的解析解

把主方程(1)的两端同时作用到态|τ=0〉上，利用算符对应关系(8)并定义态|ρt〉≡ρt|τ=0〉，可得

(11)

这样，我们可直接给出态矢量|ρt〉的标准解

|ρt〉=exp{-iκt[(a†a)2-(b†b)2]+Γt(2ab-a†a-b†b)+NΓt(ab+a†b†-a†a-bb†)}|ρ0〉,

(12)

其中|ρ0〉≡ρ0|τ=0〉，ρ0为初始的密度算符.引入算符

K+=a†b†,K-=ab,K0=a†a-b†b, 2Kz=a†a+b†b+1,

(13)

式中K+,K-和Kz构成SU(1,1)李代数，具有对易关系[K-,K+]=2Kz，[Kz,K±]=±K±，而K0为Casimir算符，与SU(1,1)李代数算符Kz,K±均对易，即[K0,K±]=[K0,Kz]=0.这样，利用SU(1,1)李代数算符及其满足的对易关系，可把式(12)改写为

|ρt〉=exp{-iκtK0(2Kz-1)+Γt(2K-+1-2Kz)+NΓt(K++K--2Kz)}|ρ0〉=exp[(Γ+iκK0)t]exp(λ+K++λzKz+λ-K-)|ρ0〉,

(14)

式中

λ+=NΓt,λ-=(N+2)Γt,λz=-2[(N+1)Γ+iκK0]t.

(15)

进一步，通过利用涉及SU(1,1)李代数的解纠缠定理，可把纠缠项exp(λ+K++λzKz+λ-K-)分解为

(16)

式中

(17)

因此，式(14)可表示为

(18)

(19)

式中参数Δ±,Δz和Π分别为

(20)

进一步，利用恒等式

(21)

可有

(22)

利用式(22)把式(19)改写为

(23)

把态|τ=0〉从式(23)的左右两端同时去掉，则得到量子主方程(1)的标准解，即

(24)

上式表明，一旦给定初始态ρ0，易给出任意时刻的密度算符ρt，并为进一步分析初始态ρ0的时间演化特性及其非经典性质等提供方便.实际上，此解也可表示为无限维克劳斯算符和表示，即

(25)

(26)

虽不是厄米共轭关系，但满足克劳斯算符的归一化条件(见式(33))，故称之为广义克劳斯算符. 特别地，当N→0且Γ为有限值时，由于λ+=0,λ-=2Γt,λz=-2(Γ+iκK0)t，那么我们有

(27)

式(25)变成仅受振幅阻尼噪声影响的克尔介质的量子主方程的解析解.当Γ→0且N→时，由于ε=ΓN为有限值，这样λ+=λ-=εt,λz=-2(ε+iκK0)t，则有

(28)

(29)

可见，初始态ρ0在克尔介质中不发生退相干效应.

4 克劳斯算符的归一化

(30)

把相干态的完备性关系插入式(30)中，得到

(31)

这样，利用相干态的密度算符的正规乘积表示[17]

|z〉〈z|=:exp(-|z|2+za†+z*a-a†a):

(32)

和积分公式

(33)

可证明广义克劳斯算符满足归一化条件，即

(34)

(35)

总之，本文利用连续变量热场纠缠态表象下系统(实模)与环境(虚模)间的算符对应关系，推导出了受振幅阻尼和热噪声同时影响的克尔介质量子主方程的解析解，即系统的密度算符随时间的解析退相干演化规律，并给出了解析解的无限维广义克劳斯算符和表示.此解析解能为进一步探查初始态的维格纳函数、光子数分布等函数以及非经典性质的时间演化提供便利.此外，还发现广义克劳斯算符满足归一化条件，且是保迹操作.