对Garfunkel-Bankoff不等式的探究

董 林

(山东省高青县教学研究室 256300)

1983年，Jack Garfunkel在《Crux Mathematicorum》上提出如下猜想：

命题1在锐角△ABC中，有

①

事实上，不等式①对于任意三角形都成立.1984年，Leon Bankoff[1]指出它等价于O.Kooi于1958年发现的：[2]

命题2在△ABC中，若s，R，r分别表示其半周长、外接圆半径和内切圆半径，则有

2s2(2R-r)≤R(4R+r)2.

②

上世纪80年代末，浙江宁波大学陈计和王振两位老师把它介绍到国内，引发了高度关注.陈计、王振、黄汉生、王文正、简超、汤茂林等老师给出过这个不等式的不同证明方法[3]-[7].

1991年，陶平生老师给出了不等式①的如下等价形式：[8]

命题3在△ABC中，有

③

2019年，安振平老师给出了Garfunkel-Bankoff不等式的一个类似：[9]

命题4在△ABC中，R，r分别表示其外接圆半径和内切圆半径，则有

④

考虑到熟知的三角形恒等式

事实上不等式①和④分别等价于：

命题5在△ABC中，R，r分别表示其外接圆半径和内切圆半径，则有

⑤

受不等式⑤启发，本文给出：

命题6在△ABC中，若s，R，r分别表示其半周长、外接圆半径和内切圆半径，则有

⑥

证明由于有熟知的三角形恒等式

所以，要证明等式⑥，只要证明

⑦

即可.

同理

得

又(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)

=(b+c+a)(c+a-b)(a+b-c)-2a(c+a-b)·(a+b-c)

=(b+c+a)[a2-(b-c)2]-2a[a2-(b-c)2]

=(b+c+a)(a2-b2-c2+2bc)-2a[a2-(b-c)2]

=(b+c+a)(-a2-b2-c2+2bc+2ca+2ab) -2a[a2-(b-c)2]+(b+c+a)(2a2-2ca-2ab)

=(b+c+a)(-a2-b2-c2+2bc+2ca+2ab)+2a[(b+c+a)(a-b-c)-a2+(b-c)2]

=(b+c+a)(-a2-b2-c2+2bc+2ca+2ab) +2a[a2-(b+c)2-a2+(b-c)2]

=(b+c+a)(-a2-b2-c2+2bc+2ca+2ab)-

8abc，则有

所以等式⑦成立，从而等式⑥成立，证毕.

由等式⑥和不等式⑤的左边立知不等式①等价于不等式②.

由等式⑥和不等式⑤的右边知不等式④等价于

⑧

2017年，郭要红、刘其右老师给出了[10]

命题7在△ABC中，若s，R，r分别表示其半周长、外接圆半径和内切圆半径，则有

⑨

由等式⑥和不等式⑨可以得到：

命题8在△ABC中，R，r分别表示其外接圆半径和内切圆半径，则有

即可.

⟺R(4R+r)≤2(2R-r)(R+r)

⟺0≤(R-2r)r.

由著名的Euler不等式R≥2r知不等式显然成立，从而不等式成立，亦即不等式强于不等式⑤.

命题9在△ABC中，R，r分别表示其外接圆半径和内切圆半径，则有

2018年，李永利老师给出了：[11]

命题10在△ABC中，若s，R，r分别表示其半周长、外接圆半径和内切圆半径，则有

命题11在△ABC中，R，r分别表示其外接圆半径和内切圆半径，则有

即可.

命题12在△ABC中，R，r分别表示其外接圆半径和内切圆半径，则有

补记《数学通报》2019年第7期数学问题2439(由贺斌、李至军老师提供)为：

求证：在△ABC中，有

值得说明的是，这个不等式等价于著名的Garfunkel-Bankoff不等式.

考虑到熟知的三角形恒等式

我们只要证明

证明由A+B+C=π知