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康威与平面几何

2020-08-01

数学通报 2020年6期
关键词:康威内切圆共圆

蒋 迅

英国数学家约翰·康威于2020年4月11日因新冠肺炎并发症在美国新不伦瑞克市(普林斯顿附近)的老人疗养院去世,终年82岁.康威的去世震惊了整个数学界.他在数学上的成就是全面性的.他的研究领域包括有限群、趣味数学、纽结理论、数论、代数、分析、算法组合博弈论、编码学和理论物理学等范畴.我们在本文中介绍他在平面几何方面的一些工作,以此纪念这位伟大的数学家.

1 康威圆定理

大数学家康威最引以为豪的是他的生命游戏.其实康威引以为豪的还有很多,其中就包括一个平面几何定理“康威圆”(Conway’s Circle)定理.有一次俄罗斯裔犹太数学家谭雅·科瓦诺娃(Tanya Khovanova)看到他穿了一件印有这个康威圆定理的图案,坚持让他把身子转过去背对着她,可怜的康威先生就一直这样站着,直到她想出了证明.

如上图,假定我们有一个三角形ABC.三个边的边长为a=|BC|,b=|AC|,和c=|AB|.从C向A做延长线并在延长线上取点Ab使得|AAb|=a,以此类推得点Ac,Bc,Ba,Ca和Cb.那么这个定理说:这六个点共圆.康威圆的半径为:

它的圆心就是内切圆的圆心.如果我们记r为内切圆的半径,s为三角形ABC的半周长,那么R还有一个用r和s表达的更简洁的公式.

康威圆始于康威发起的一个几何社交群.他在那个群里发布了这个问题.后来人们就把它称为了康威圆.他在与网友们讨论时还指出,当延伸的距离分别为a+x,b+x和c+x时结论仍然成立,其中x是使得a+x,b+x和c+x都大于零的任意实数.

2 康威与平面几何

三角形非周期平铺/维基百科

三尖瓣线内部区域/维基百科

康威与美国数学家彼得·道尔(Peter Doyle)给出了莫雷角三分线定理的初等证明.莫雷角三分线定理是说,对一个任意的三角形,其三个内角作角三分线,靠近公共边三分线的三个交点,是一个等边三角形.康威的证明在他写的著名文章“数学的力量”(The Power of Mathematics)中.

莫雷角三分线定理/康威

读者一定会联想到,一个任意三角形的三个内角角平分线相交于一个点.这个点就是内切圆的圆心.为了把这两个定理叙述成一个统一的形式,让我们换一种叙述.

n=2和n=3时的示意图

n=4和n=5时的示意图/道尔和塞提

注意这个新的描述就是康威的证明思想.用这个描述,我们可以把结果推广到任意的n=2,3,4,5,…的情形去.

约翰·康威和理查德·盖伊(Richard K. Guy,1916—2020)在1996年的著作《数之书》(The Book of Numbers)中给出了基于三等分角的正7、9、13边形的二刻尺作图.康威和盖伊都在2020年去世,令人叹息.

康威自认为是一个经典几何学家,这毫不夸张.康威对几何的爱好始于他的高中时代.那时候他一直保存着一本笔记本,上面都是他自己有关三角形的发现.他甚至曾经计划出一本关于三角形的书,标题可能就是“三角形”(The Triangle Book).那会多么有趣.可惜他计划中的合作者、一位高中数学老师斯蒂夫·西古尔(Steve Sigur)意外去世,不知这本书是否还有面世的机会?

康威在几何上的贡献还有很多,比如康威多面体表示法(Conway polyhedron notation)、密铺数学理论的康威准则(Conway criterion)等等.他还为三角形创造了一个词“extraversion”.这个词的原意是外向性或外侵性.但他在这里的意思是将一个三角形翻转.

3 康威圆定理的证明

现在让我们回到康威的六点共圆定理的证明.证明的过程对于推广的康威圆也适用,但我们仅限于对经典的情况这证明(即x=0).我们只需要证明点I到这六个点的距离相等.

证明的思路是证明从点I到点Ab,Ac,Bc,Ba,Ca和Cb的距离都相等.

如上图,取点M为Ca和Cb的中点.在三角形CCaCb中,CM是中线,并且|CCa|=|CCb|=c.所以,CM垂直于CaCb且是∠CaCbI的角平分线.

现在取N为Ac和Ca的中点.在三角形CaAcB中,我们有|NAc|=|NCa|且|CaB|=|CaC|+|CB|=a+c=|AcA|+|AB|=|AcB|.因此,BN是CaAc的垂直平分线,也是∠CaBAc的角平分线.因为∠CaBAc也是∠ABC,而I是内切圆的中心,所以I在BN上.因为BN垂直平分CaAc,我们知道,|ICa|=|IAc|.类似地,|IAb|=|IBa|和|IBc|=|ICa|.

从上面两段推理,我们得出结论,Ab,Ac,Bc,Ba,Ca和Cb六点共圆且圆心就是内切圆的中心.

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