康威与平面几何

蒋 迅

英国数学家约翰·康威于2020年4月11日因新冠肺炎并发症在美国新不伦瑞克市(普林斯顿附近)的老人疗养院去世，终年82岁．康威的去世震惊了整个数学界．他在数学上的成就是全面性的．他的研究领域包括有限群、趣味数学、纽结理论、数论、代数、分析、算法组合博弈论、编码学和理论物理学等范畴．我们在本文中介绍他在平面几何方面的一些工作，以此纪念这位伟大的数学家．

1 康威圆定理

大数学家康威最引以为豪的是他的生命游戏．其实康威引以为豪的还有很多，其中就包括一个平面几何定理“康威圆”(Conway’s Circle)定理．有一次俄罗斯裔犹太数学家谭雅·科瓦诺娃(Tanya Khovanova)看到他穿了一件印有这个康威圆定理的图案，坚持让他把身子转过去背对着她，可怜的康威先生就一直这样站着，直到她想出了证明．

如上图，假定我们有一个三角形ABC．三个边的边长为a=|BC|,b=|AC|，和c=|AB|．从C向A做延长线并在延长线上取点Ab使得|AAb|=a，以此类推得点Ac,Bc,Ba,Ca和Cb．那么这个定理说：这六个点共圆．康威圆的半径为：

它的圆心就是内切圆的圆心．如果我们记r为内切圆的半径，s为三角形ABC的半周长，那么R还有一个用r和s表达的更简洁的公式．

康威圆始于康威发起的一个几何社交群．他在那个群里发布了这个问题．后来人们就把它称为了康威圆．他在与网友们讨论时还指出，当延伸的距离分别为a+x，b+x和c+x时结论仍然成立，其中x是使得a+x，b+x和c+x都大于零的任意实数．

2 康威与平面几何

三角形非周期平铺/维基百科

三尖瓣线内部区域/维基百科

康威与美国数学家彼得·道尔(Peter Doyle)给出了莫雷角三分线定理的初等证明．莫雷角三分线定理是说，对一个任意的三角形，其三个内角作角三分线，靠近公共边三分线的三个交点，是一个等边三角形．康威的证明在他写的著名文章“数学的力量”(The Power of Mathematics)中．

莫雷角三分线定理/康威

读者一定会联想到，一个任意三角形的三个内角角平分线相交于一个点．这个点就是内切圆的圆心．为了把这两个定理叙述成一个统一的形式，让我们换一种叙述．

n=2和n=3时的示意图

n=4和n=5时的示意图/道尔和塞提

注意这个新的描述就是康威的证明思想．用这个描述，我们可以把结果推广到任意的n=2,3,4,5,…的情形去．

约翰·康威和理查德·盖伊(Richard K. Guy，1916—2020)在1996年的著作《数之书》(The Book of Numbers)中给出了基于三等分角的正7、9、13边形的二刻尺作图．康威和盖伊都在2020年去世，令人叹息．

康威自认为是一个经典几何学家，这毫不夸张．康威对几何的爱好始于他的高中时代．那时候他一直保存着一本笔记本，上面都是他自己有关三角形的发现．他甚至曾经计划出一本关于三角形的书，标题可能就是“三角形”(The Triangle Book)．那会多么有趣．可惜他计划中的合作者、一位高中数学老师斯蒂夫·西古尔(Steve Sigur)意外去世，不知这本书是否还有面世的机会？

康威在几何上的贡献还有很多，比如康威多面体表示法(Conway polyhedron notation)、密铺数学理论的康威准则(Conway criterion)等等．他还为三角形创造了一个词“extraversion”．这个词的原意是外向性或外侵性．但他在这里的意思是将一个三角形翻转．

3 康威圆定理的证明

现在让我们回到康威的六点共圆定理的证明.证明的过程对于推广的康威圆也适用，但我们仅限于对经典的情况这证明(即x=0)．我们只需要证明点I到这六个点的距离相等．

证明的思路是证明从点I到点Ab,Ac,Bc,Ba,Ca和Cb的距离都相等．

如上图，取点M为Ca和Cb的中点．在三角形CCaCb中，CM是中线，并且|CCa|=|CCb|=c．所以，CM垂直于CaCb且是∠CaCbI的角平分线．

现在取N为Ac和Ca的中点．在三角形CaAcB中，我们有|NAc|=|NCa|且|CaB|=|CaC|+|CB|=a+c=|AcA|+|AB|=|AcB|．因此，BN是CaAc的垂直平分线，也是∠CaBAc的角平分线．因为∠CaBAc也是∠ABC，而I是内切圆的中心，所以I在BN上．因为BN垂直平分CaAc，我们知道，|ICa|=|IAc|．类似地，|IAb|=|IBa|和|IBc|=|ICa|．

从上面两段推理，我们得出结论，Ab,Ac,Bc,Ba,Ca和Cb六点共圆且圆心就是内切圆的中心．