基于数学建模过程的三角函数概念教学研究

顿继安 陈东峰

(1.北京教育学院 100120；2.北京汇文中学 100061)

1 问题的提出

作为我国高中数学课程确定的六大数学学科核心素养之一，数学建模素养的培养属于薄弱地带，张淑梅等(2019)基于大样本测试发现，当前我国学生数学建模素养在六个数学核心素养中的测试平均分最低[1]，说明教学需要在这方面做出更多的努力.

“数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力”[2]，实际上，“很多重要的数学思想都是在解决实际问题的过程中被发明或发现的”[3]，许多数学概念、定理等自身就是从解决实际问题的经验中提炼、抽象而得的数学模型，因此，在教学中需要重视这样的知识的产生过程对于培养学生的数学建模素养的价值.

函数就是这样的知识.从数学史上看，一个新函数被发明有两种方式，如彭家勒所说：“从前，当一个新函数被发明时，正是为了某种实用的目的；今天，为了指出我们祖先推理的错误，才特意发明新函数”[4]，这里的“从前”指的是服务于具体的问题解决的函数研究阶段，主要任务是找到作为实际问题的解的函数；而“今天”则指函数理论进入严格化阶段，一些并无现实背景的函数(如狄利克雷函数)被构造出来用以说明函数概念的本质、打牢函数理论大厦的根基.

这两种途径可以大致概括为外部问题驱动和内部问题驱动，它们在今日中学数学课程新函数的教学中都有体现，不过具体细节却与历史存在很大差异.数学内部途径产生的函数不再只是为了“指出祖先推理的错误”，而是设计为数学知识自然生长的结果，例如对数函数从数学运算的角度自然产生，而三次函数乃至幂函数等也都是一次函数、二次函数、反比例的自然延展.

“实用的目的”即外部问题驱动仍然是数学课程中产生新函数的主要方式，但问题的特点与历史相比却有了很大变化.数学史上很多新函数来自微分方程的解，这些微分方程则是物理等科学领域问题的数学模型，而今日的数学课程显然难以按照数学史安排，新函数的得出主要指向的是某个实际背景中“某两个变量间具有怎样的关系”的问题，由于给出的实际问题中的原理或是学生已知、或是题干中先做介绍，因此，通过分析、推理和运算就能得到函数解析式，再将参数一般化而得到新函数的定义，这样的函数可以看成是“为表达世界而建模”[5]，一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数等都遵循的是这一思路，其产生过程可以用下面的流程图表示：

教科书一般在章引言中介绍一些周期运动的现象，指出这些现象可以用三角函数刻画，但任意角的三角函数概念的产生却并未围绕某个具体的周期运动现象的刻画过程进行，而是直接给出定义，直到产生了三角函数的图象、性质后，学生才会面对解决实际问题的任务.

教学实践中，有教师试图以实际问题引入，设计了摩天轮问题[6]：

图1

摩天轮的中心离地面的高度为h0,它的直径为2r,逆时针方向匀速转动 , 转动一周需要 360秒 ,若现在你坐在座舱中 ,从初始位置点A出发 (图1),求相对于地面的高度h与时间t的函数关系式 .

问题提出后，教师先引导学生得出t=20,30,70时h的式子，进而形成h=h0+rsint的猜想，但是，接下来教师并未让学生思考，自己也并未介绍t>90的情况如何建立h与t的关系，而是问：“随着摩天轮的转动 ,角度也不知不觉地推广到了任意角，对任意角α，该如何定义sinα呢 ？”接下来，教师引导学生得出P运动到圆周的不同位置时用P点坐标表达的h的式子，进而给出任意角的正弦函数定义.

我们看到，教科书和教学实践中的教师都未给学生展现应用已有知识建立实际问题的数学模型的过程，而是直接给出任意角的三角函数定义，这就使得任意角的正弦函数的定义“像从一顶帽子里抓出一只兔子的戏法一样令人感到意外.它根本不具有什么启发性”[7].

本研究要探讨的问题是：应用学生已有知识能否建立摩天轮等实际问题的数学模型?得到的数学模型与任意角的三角函数的定义有何关系？在基于数学建模的三角函数概念产生的各项数学活动任务面前学生如何表现？怎样的教学策略能够突破难点？

2 作为数学模型的三角函数概念的形成过程

数学史上通常认为将解三角形意义上的锐角三角函数拓展为三角函数的是数学家欧拉，而导致欧拉完成这一工作的是一系列从物理问题中得到的微分方程的求解问题[8].显然，按照今日中学数学课程的体系与目标，这样的过程难以还原.实际上，“个体知识的发展必须遵循人类知识的发展过程”并非指所有历史细节，是“假定我们的祖先已经知道我们今天有幸知道的东西，将会发生的历史”，本文的分析即基于此进行.

以教学中最常用的摩天轮问题为例，如图2所示的摩天轮在周而复始、匀速转动的过程中，有多个可以研究的问题，其中某个座舱的高度的变化规律问题最引人注意.这一实际问题要变为可解的数学问题，首先需要做必要的抽象和假设：将座舱抽象为点P，假设在转动的过程中座舱与摩天轮的转轴的距离始终不变并设为r，假设座舱到最低点时与站台的距离为0.对座舱的高度的假设的不同，数学问题也不同.

图2

如果按照如图2(2)所示的方式设h和α，即研究从转轴所在水平面出发的座舱P相对于转轴所在水平面的高度h与OP转过的角度α的关系，可以根据平面几何知识得到h与α的关系式，但是，与其他新函数通过基本运算就能得到标准的函数解析式不同的是，由于此时只有锐角三角函数可以用来表示h与α的关系，因此，当α超出锐角范围后，需要将之转化为锐角，这样得到的h与α的关系将是分段函数，如(*)式所示.

(*)

更符合实际情况的是按照如图2(3)所示的方式设h和α，即研究从最低点开始运动的座舱相对于站台所在平面的高度h与OP转过的角度α的关系，得到(**)式.

(**)

两种情况下h关于α的式子都比较复杂，但通过它，可以确定任一点的函数值，也可以得到这一函数的图象、根据图像推得函数的性质等，进一步得到与之有关其他具体问题的解.

如果以解决实际问题为目标，那么(*)或(**)式的得出就基本完成了任务，尽管这个函数的解析式很“难看”，但据此画出的图象却平滑优美，可以成为认识h(α)的函数性质的直观而有效的工具.

但从数学的角度看，这个式子并不令人满意.科朗说：“数学，作为人类思维的一种形式，体现了人们积极进取的意志、缜密周祥推理和对完美境界的追求”[9]，这种追求既是人的本能，也是数学教育的目标.凭借直觉和本能，人们希望对这样一个繁复、与其图象的平滑优美极不匹配的解析式进行化简.以往遇到一个形式不好的解析式的做法是通过运算性质将之变形、整理、简化，但这样的方法不适宜于这个式子，这里解析式的特点是自变量不同的部分形式不同，要想将之简化，需要的是找到这些表面不同的式子背后的共同点.

站在今天我们已经拥有的数学知识的角度看，通过将定义域为锐角的三角函数的定义域拓展为任意角就可以将式子化简.拓展的基本思路就是将原定义域范围内的定义方法用到更大的范围中.以正弦函数为例，当α为锐角时sinα的定义方法是：将α放在平面直角坐标系中，顶点与原点重合、始边与x轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点P(x，y)，则sinα=y；在对α为非锐角时的情况进行分析，发现如果按照这样的方法定义sinα，就可以将h(α)在不同范围内的表达式统一用sinα表示，从而达到目的.相同的思路用于定义域拓展余弦函数的定义，则可以将(**)式简化.

梳理这一过程，我们看到，作为摩天轮情境下的一个问题的数学模型的正弦(余弦)函数的产生过程与其它新函数的产生过程存在着差异，真正的挑战不是具体实际问题的函数解析式中参数的一般化，而是要以新思路、新方法对模型进行优化，如下框图所示：

3 基于学情开展教学

按照“基于学生已有经验建立实际问题的数学模型、通过优化模型得到三角函数定义”的思路进行教学，在知识形成过程中势必会花费更多的时间，学生将遇到远比直接给出定义的教学方式更多的困难，但是，因为“学生会遇到困难”、“花费时间多”就不去展示过程的做法并不妥当，许多数学家和心理学家都论述过挑战和难题的多重教育价值，例如M.克莱因说：“课本中的字斟句酌的叙述，未能表现出创造过程的斗争、挫折，以及在建立一个可观的结构之前，数学家所经历的艰苦漫长的道路.学生一旦认识到这一点，他将不仅获得知识，还将获得顽强的追究他所攻问题的勇气，并且不会因为他自己的工作并非完美而感到颓丧”[10].

教学中切记模糊和笼统得做出“这样太难了”的判断，而是需要沿着数学建模完整过程中的各个关键环节了解学情，分析学生面对问题的可能表现以及表现背后的思维基础和思维发展空间，以此为基础采取合适的教学对策.

基于这样的思考，我们开展了“正弦函数的定义”的教学实践研究，教学主要部分的基本思路如图3所示：

图3 正弦函数定义的教学过程流程图

在这样的教学过程中，有三个任务富有挑战性 ：用图象表示h随着α的增大而变化情况的猜想；利用已有锐角三角函数的知识表达h与α的关系建立分段函数模型；优化分段函数模型得将锐角三角函数定义域拓展得到任意角的正弦函数定义.下面呈现这三个任务的策略选择与实施情况.

3.1 关于图象的猜想：树立函数研究与识别“三位一体”意识

设计学生直观想象函数图象的活动，旨在培养学生在函数的研究与识别中建立“三位一体”的意识，即一个函数的解析式、图象和数据各自表现出的特征之间的对应性和可转化性，新形式的解析式、新的图象、有新特点的数据都会带来新函数的产生.尽管在课本中的函数学习和应用经常是先有解析式，根据解析式得到数对、图象，但真实的数学应用中，实际问题的规律通常并不为研究者所知，因此建立实际问题的数学模型并不能从分析、推理和运算开始，而是先要获得数据，通过数据描点作图，观察图象与已知函数的图象符合，再用拟合的方法确定函数解析式，例如，新冠肺炎病毒的传播模型的建立遵循的就是这一流程.

值得关注的是，学生都能根据意义说明h是α的函数(注：本节课在“发现问题、提出问题”的抽象与假设活动中，已经将摩天轮的半径设为1)，即α值确定则h值就唯一确定，并且都能直观想象出h随着α的变化而增减的大致状况，但对于具体的增减的情况有不同的想象.图4是呈现的是一个班的学生画出的函数在一个周期内的图象，图5则是另一个班课堂教学中学生展示的作品，两个班的学生基础存在一定差异，但是表现出的想法却有很多的共性.

图4

图5

3.2 分段函数模型的得出：用旧知识解决新问题

利用已有锐角三角函数表达h与α的关系式的数学思维是分类与转化.分类的意义在于将并不具有统一规律的复杂情形分解为若干简单情形，转化的作用在于“用旧知识解决新问题”，这被李尚志教授称作“重要的核心素养”[10]，在学生既往的数学问题解决活动中经常使用，势必会在新的数学问题的解决中发挥作用，并获得进一步发展.

我们的实践支持了这种判断.面对最为关键的OP旋转一周的情况，学生基本都能借助锐角三角函数正确写出α的终边在每个象限的情况h与α的关系式，不足的是，鲜有学生能够完整写出α在[0，2π )范围内表达式，OP在坐标轴上的情况容易被漏掉，图6是学生的代表性作品：

图6

学生独立工作的表现与正确的方法和答案之间的差距是其最近发展区，代表了他们需要帮助的地带.帮助学生的方式很多，而关键在于引导学生对自己的思维过程进行分析.教学中，当这些作品展示出来后，教师提出“我们共同分析一下这一式子是否表达了OP绕O点运动时h与α的关系？”，学生将自己的答案和转动过程比较，就认识到了被遗漏的情况，α终边在坐标轴上的情形随之得以补充.

3.3 模型优化的方法：讲清解决问题思路的形成

面对h(α)以分段函数表达的复杂的形式，学生都表现出对这个式子“不喜欢”“不满意”和将其简化的愿望，考虑到此前学生缺乏通过将函数定义域拓展而将之化简的经验，教学中我们采用了以讲授为主的方法，以有利于学生完整、连贯得认识到问题解决的过程和其中新的数学思想，为了实现这一目标，教师的讲解突出了如下四层含义：

第一，分析h(α)的表达式如此繁杂的原因，在于用α表示h的工具只有锐角三角函数，因此对于非锐角情形必须将其转化为锐角，对于循环往复的转动来说就需要分为无数种情况，从而使得h(α)的解析式无穷无尽.

第二，针对问题产生的原因确定了解决的思路，就是突破将h用α表示的只有锐角三角函数这一工具的限制，拓展三角函数作用的角的范围，即是定义任意角α的三角函数.

第三，介绍定义任意角的正弦函数sinα需要遵循的原则.由于当α为锐角时sinα已经有了定义，因此，新的定义必须与原定义相容、是原定义的自然拓展，而不要另起炉灶.

第四，分析由于α为锐角时sinα=y，自然的想法就是也这样定义任意角α的正弦函数为sinα=y，这里的y指的是α终边与单位圆的交点的纵坐标，而通过对α为非锐角情况的检验，发现这种定义方式确实能够让h(α)的形式变得简化：h(α)=sinα，这样就得到了任意角的正弦函数的定义.

以上四层含义中的内容既包括“是什么”和“怎么做”，还包括“为什么”和“怎样想到的”，讲清了这些，学生的有意义学习就发生了——这节课下课时，一位有课前学习经验的学生特意跟老师表达了自己的感受：“终于明白为什么这样定义三角函数了”，从一个侧面证明了这一点.实际上，讲授法被称为“基本功之基本”，并非由于这种方法对于教师的演讲技巧有多高，而是需要教师讲清“为什么”和“怎样想到的”等问题，这是数学教师与数学家相比需要具备的独特的专业知识.

4 结论与启示

4.1 结论

作为实际问题的数学模型的三角函数定义的产生过程，与中学数学中的其他新函数相比有明显不同：应用学生已有知识建立的实际问题的数学模型更为复杂、更具挑战；从实际问题的数学模型到三角函数的定义不再是参数一般化，而是将原有函数的定义域拓展并在拓展范围内给出新定义.

但这样的教学思路有意义且可行.尽管应用已有知识建立实际问题的数学模型具有一定的挑战性，然而其基本思想方法为常用的分类与转化，因此，可以为学生提供自主探究的机会，教师适当指导即可；通过定义任意角的三角函数而将分段函数模型的各部分的式子统一的方法是学生首次遇到，通过教师的讲授，可以更为完整得展示新的数学思想.

4.2 启示

反思这一教学研究过程，有两点富有启示意义.

第一，知识的形成过程的意义与认识方法

基于数学建模过程开展的三角函数概念的教学，实质是尽可能展示完整的知识形成过程，包括问题的发现与提出、分析与解决、对结果的整理与优化过程，在教学中可能会由于学生基础、时间等具体情况，其中的富有挑战性的重要活动并不以学生自主探究的方式进行，但教师必须理解知识的形成过程，才能设计并实施逻辑通畅的活动，让有意义的学习发生，学生在获得具体知识的同时学会思维.

到数学史中探寻数学知识的产生和发展的过程是基本方法.然而，一方面，并非所有的具体知识的形成过程都有记录，另一方许多知识的发展史难以成为今日有着多重目标的数学课程形态，三角函数知识的形成过程就是一个案例.因此，要特别注意数学史为数学教学提供的除了直接可用的一些具体知识形成过程的史实外，更多情况是知识发生发展过程的原理，以获取的原理为基础，考虑今日学生的已有知识、掌握的思考工具、所处的创造环境等因素，通过思维实验获得“再创造”意义下的知识形成过程.

第二，以对教学内容的整体把握为基础开展单元教学

前文着重介绍的是正弦函数的概念的研究和教学过程，显然，这远比常规教学直接给出正弦函数的定义花费更多的时间，随之而来的问题就是：如果每个知识都这样教，时间从哪里来？对此，笔者给出的回答是：要以对教学内容的整体把握为基础进行单元教学设计.

首先,要整体把握三种三角函数的教学.解三角形意义下的三种锐角三角函数在初中就像“三胞胎”一样同时产生，相应的锐角三角函数中拓展的过程也类似，因此，教学不必采用千篇一律的方式，更不必在类似的内容上平均着力，我们的实践中，就请学生类比正弦函数的定义方法，自主给出任意角的余弦函数和正切函数的定义，通过阅读教科书检验自己的定义是否正确、完善.

5 结束语

本研究基于实践也指向了实践的改进，但却并非一个完美的教学过程.

比如，也许还可以给学生更多的空间.比如，关于三种三角函数的产生次序我们遵循了“正弦函数—余弦函数—正切函数”的常规安排，但这未必是唯一的选择，如果为学会提供自主空间，这也并非更契合学生实际的选择.前文的分析表明，我们在摩天轮情境下会产生不同的问题、驱动产生不同的三角函数，单就座舱高度与旋转角度的关系问题而言，关于h的假设不同，具体的数学问题也不同，教学中聚焦到图2(2)的情况是教师主动引导的结果，与实际更贴合的方式是图2(3)所示的情形，而按照这种方式产生的(**)式比(*)式更为复杂，产生的则是余弦函数.我们也未尝试让学生自主探索优化分段函数模型、得到三角函数定义，也因此未能了解学生面对这一此前缺乏经验的任务的表现.

教学经常会充满遗憾，遗憾中孕育着值得研究的问题，正是新的问题的不断发现与提出，我们对数学教育的规律的认识才会变得更丰富.