两道2019年高考题的共性浅探及结论推广

周威

在高考备考中，對各地高考试卷考点进行归纳与分类这是一个必需的过程。美国数学家Hahmos说过，“数学研究主要就是发现问题和解决问题”，在归纳与分类过程中，笔者发现2019年高考数学北京卷文19题与2019年全国卷Ⅱ理数21题都是基于共同的性质或条件而设问，本文以此建构二者之间的联系及结论推广。

1真题呈现。直观感知中聚焦共性

（1）这两道题都是基于过原点的直线与椭圆相交于对称两点和椭圆上另一点构成三角形的情境中来设问：

2 基于共性。分析问题本质

从共性（1）中，不难联想到椭圆中更深一步的结论和相关教材中的背景，从共性2中，不难发现条件a²=2b²是题1第（2）问条件中|OM||ON|=2为何为“2”及后面结论的保障，同时也是题2第（2）问中△POC是直角三角形的保障。

事实上，过原点的直线与椭圆相交于对称两点与椭圆上另一点构成三角形，这无疑让人联想到“垂径定理”，我们知道垂径定理是圆的重要性质，其内容为：已知圆中有一条非直径的弦，那么这条弦垂直于过其中点的直径。如果放到直角坐标系中，若这一条非直径的弦的斜率存在，过此弦中点的直径的斜率也存在，那么这两斜率之积为-1.对于椭圆也有类似的性质，我们称之为椭圆的“垂径定理”，即

3 抽象规律，结论探究与推广

4 结语

一道好的高考题一定含有丰富的数学内涵，也体现了很多命题专家的心血和智慧，这就需要我们对高考题进行研究，寻找共性，归纳总结。法国数学家拉普拉斯说过，在数学里发现真理的工具主要是归纳和类比。我们要在归纳和类比中善于挖掘和思考，思考怎样通过高考引导教学，再通过教学提升高考复习备考的效果。本文从共性分析到结论推广，其实就是归纳和类比的过程，也是数学抽象素养的落实过程，《普通高中数学课程标准2017年（版）》指出，“数学抽象素养的育人价值在于通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验”。如果能把这种活动经验在复习备考中让学生体验与经历，帮助学生将已知数学命题推广到更一般的情形，那么就能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题，自然也就能达到提升高考复习备考效果的目的。