高考数学试题中的数学文化研究

李怀军 杨新光 朱亚丽

[摘要]数学文化融入高考试题是提升和评价学生数学素养的重要抓手，拓宽高考试题中数学文化的內容领域、类型。提升数学文化的运用水平是试题命制与教学改革的突破口。统计分析2019年高考数学新课标全国卷中的数学文化试题发现：数学文化各类型试题的数量极少，且內容领域分布不均衡。以概率与统计领域最多;数学文化类型分布不均衡，偏重于数学与生活;数学史的运用居于中、低水平，其它数学文化类型以中、高水平为主。增加数学文化试题数量与兼顾內容领域分布的均衡性。深挖概率与统计的文化价值，呈现更多样化的文化类型。采用內在而自然的运用水平应为未来数学文化命题与教学改革所关注。

[关键词]新课标全国卷;数学文化;运用水平;类型;概率统计

基于数学文化的视角研究高考数学试题，是改进高中数学命题与教学，培养学生数学素养的重要抓手。“数学除了知识技能及应用以外。更重要的是它本身就是一种文化。从文化的高度来建设数学课程，有利于提高学生的数学素养”。数学文化所具有的提升学生数学素养的价值，已引发研究者对高考数学试题中的数学文化产生了广泛的关注。突出表现在命题特征及对高中数学教学的启示研究，成为高考数学文化试题研究的两条主线，这必然会在新课程改革实施与新教材使用的元年——2019年的高考数学试题中有所体现。为此，围绕高考数学“在什么地方渗透数学文化”“渗透了哪些数学文化”“又是如何渗透的”等问题，对作为改革风向标的高考数学新课标全国卷进行深入剖析，以期为我国数学课程改革，尤其是数学试题命制和教学资源的开发与利用提供借鉴。

1 分析框架

首先，以教育部颁布的《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课标》）和《2019年全国卷高考数学考试大纲》（以下简称《考纲》）为指导，将高考数学内容分为“集合与常用逻辑用语”“函数与导数”“几何与代数”“算法与框图”“概率与统计”五个内容领域。其中，“函数与导数”内容领域包含函数的概念与性质、基本初等函数、函数应用、数列、一元函数导数及其应用：“几何与代数”内容领域包含平面解析几何、立体几何、平面向量及其应用、空间向量与复数：“概率与统计”内容领域包含计数原理、概率、统计。

其次，基于已有研究，借鉴王建磐、唐恒钧、史嘉等建立的研究框架。从数学文化的显性角度对高考数学试题中数学文化的类型与运用水平进行统计分析。对于前者，将数学文化的类型分为如下六个子类：数学史、数学与生活、数学与科技、数学与人文社会、数学游戏、数学与艺术体育。对于后者，将数学史的运用水平由低到高划分为点缀式、复制式、顺应式、内隐式和重构式五个层级，又将数学史之外其它类型数学文化的运用水平确定为外在型、可分离型和不可分离型三个水平。

2 研究设计

2.1 研究对象

2019年高考数学新课标全国卷（简称全国卷）包含I、Ⅱ、Ⅲ卷，每卷又分文、理两科，因而共包含6套试题，剔除每一套试题中未涉及数学文化的选考题型，只对前20题共计120道必考题进行统计。高考数学全国卷是教育部考试中心组织命制的适用于全国大部分省区的高考试卷，具有三个鲜明的命题特征：考查内容彰显新课程理念;根据新课程的特征，分必考题与选考题：命题以考纲为依据，以课本教材为依托。考察学生综合能力。

2.2 数据收集与整理

数据的收集与整理按照如下操作标准实施：一道试题只对应一种数学文化类型。若试题中出现多种类型的数学文化时，只计该题所侧重的类型。比如，全国I卷文、理科第4题不仅以古希腊的黄金分割为数学史料，还因论及“人体器官之间的比例”而关涉数学与生活。不过，该题由于侧重于黄金分割，因而被视作“数学史”类试题。

2.3 一致性检验

两名研究者分别按照数学史以及其它类型数学文化的运用水平及其说明，对全国卷文、理两科共120道数学试题进行独立评分由此得到两组分数值的Pearson积差相关系数r=0.902（P<0.05）。对于不一致的地方，两名研究者共同讨论，最終达成一致认识。

3 研究结果与讨论

根据所用分析框架，对2019年高考数学全国卷120道试题进行统计分析，得到试题中数学文化的内容领域分布与运用水平状况，如表1所示。由于试题不含“数学游戏”类文化，因此之后的结果不再呈现。

3.1数学文化的领域分布

由表l可知。2019年高考数学全国卷中的数学文化试题总数极少，仅有24道题，占全部120道试题的0.2%。其中，数量分布最多的是“概率与统计”内容领域，为17道试题，占比0.1417%，平均每套试题包含近3道：其次是“几何与代数”内容领域。但试题总数仅为5道，占比0.0417%：再次是“函数与导数”和“集合与常用逻辑用语”内容领域，均为1道试题，占比0.0083%：不含数学文化试题的是“算法与框图”内容领域。进一步分析各类数学文化在“概率与统计”内容领域的数量分布如图1所示。

可知，“数学与生活”类文化试题数量最多。为6道;其次是“数学与科技”类文化试题，数量为5道;再次是“数学与人文社会”和“数学与艺术体育”类文化试题，数量均为2道：最后是“数学史”类文化试题，仅有1道。

由此可知，2019年高考数学全国卷中的数学文化试题总量极少与“概率与统计”内容领域包含的数学文化试题数量相对较多之间存在明显的不一致，甚至是截然相反。究其原因，一方面是数学文化融入高考试题的呼声甚高。但理论和实践的研究并没有同步跟进。另一方面，由于概率为人们从不确定性的角度认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法，统计又可帮助学生进一步学习数据收集、整理和表示的方法，感悟在实际生活中进行科学决策的必要性和可能性。体会统计思维与确定性思维的差异、归纳推断与演绎证明的差异。所以，“概率与统计”内容知识与数学文化，尤其是与“数学与生活”、“数学与科技”等文化类型之间存在的天生联系，为数学文化融入高考试题提供了相对容易的切入点，加上其蕴含的统计思维与归纳推断能力是21世纪公民必备的数学素养，因而成为基础教育数学课程改革深化的一个重要领域。这自然会体现在以考查内容彰显新课程理念为典型特征的全国卷试题命制改革中。