2019年高考数学函数试题探析及教学启示

叶立军 戚方柔

[摘要]针对2019年高考函数试题，从定量与定性角度分析试题特征，得出结论：函数试题立足双基，考查学科素养;强调知识点的融合，考查综合应用能力;试题突出创新性，考查创新能力。由此提出教学启示：聚焦四基四能，培养学生核心素养;强化项目学习，激发学生深度思考;注重思维教学，培养学生创新能力。

[关键词]函数;高考题;教学探析

函数是描述客观世界中变量关系和规律的基本数学语言和工具，同时也是解决实际问题的基本数学模型。作为贯穿高中课程的主线，函数的知识、观点和思想方法支撑了高中数学的知识体系，是高考数学命题的重要内容之一。通过对高考函数试题研究，探析函数的核心内容和思想方法。有助于教师在教学中落实双基的同时，提升学生的数学核心素养。

1 高考函数试题特征

1.1 试题分布、分值特征

由于函数所涉内容的广泛性，本文研究的函数试题内容为：函数的概念与性质、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和函数应用。对2019年全国卷I、卷Ⅱ、卷Ⅲ及北京、天津、浙江、江苏和上海五省的自主命题卷进行分析，其中函数试题在试卷中的位置分布、分值等基本特征如表l所示。

由表1，函数在高考卷中占据较大的比重，无论是全国卷或是自主命题卷，函数的分值都不低于30分，且占总分值的20%-35%，其中浙江卷尤为明显，比重为34%，可见函数在高中数学中不可忽视的重要地位此外，函数试题基本贯穿高考卷中的各个题型，且以函数为背景的填空题和解答题通常在压轴的位置中出现，比如江苏卷第14题（填空最后一题）、浙江卷第22题、天津卷（理科）第20题，不仅呈现函数题型广的特点，也同时体现了其基础性和难度性

1.2 文、理科试题特征

对全国卷I、卷Ⅱ、卷Ⅲ、北京和天津的文、理科试题进行分析，分别从试题考查水平、包含知识点数量、背景水平3个方面进行统计。

1.2.1 试题考查水平（X）

由上表，我们绘制文、理科试题难度统计图，如图1.

由上图，我们发现文、理科难度差异明显，其中全国卷Ⅱ的难度差异最大。全国I和全国卷Ⅲ差异最小，且各地理科卷难度高于文科，内容上差异主要体现在解答题第二问上。高考题的考查水平主要集中在“运用”和“探究”上，且理科试题在这两方面的题量略多于文科。在知识点数量上，文、理科试题的知识點数量主要集中在3个左右，表明高考题的综合性显著，对学生分析问题、解决问题的综合应用能力要求较高。在试题背景上，高考题主要以无背景为主，全国卷Ⅱ（理）在选择题第4题以航天技术为背景，体现学科整合，考查学生的综合能力和素养。

但值得一题的是，文、理科在差异性的基础上，也存在较强的一致性。两者试题的题号相同或接近，特别是解三角形类的解答题。北京文、理卷的函数解答题除一小问外，其它均相同：天津卷的函数选择题两题完全相同：全国卷I的解答题主题目、全国卷Ⅲ的解答题第一题及第二题的第（1）问均相同。文科和理科的差异正在缩小，这体现了新课改的理念，为逐步实现文、理不分科作铺垫。

2 高考函数试题命题特征

2.1 立足双基，考查学科素养

掌握函数的基本概念、性质（单调性、奇偶性、周期性）和图象是函数内容的主干知识，也是基本内容，该部分高考题考查学生对基础知识的理解和对函数思想方法的掌握。这对发展学生的核心素养起到了基础性的关键作用。试题立足双基，从易到难分布，主要从逻辑推理、数学运算和数学建模等方面考查学生数学核心素养。

例3 （2019年全国卷Ⅱ理4）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L₂点的轨道运行。L₂点是平衡点，位于地月连线的延长线上。设地球质量为M₁，月球质量为M₂地月距离为R，L₂点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：

思考与分析 上述例1、2试题对函数的基本内容进行考查，针对周期性、奇偶性和函数图象命题，要求学生掌握函数的概念、性质及其图象表示法，使图象和性质形成对应关系，渗透数形结合思想。一般以选择、填空的形式呈现，难度起点低。例3以物理背景为载体，试题新颖，考查学生的转化思想、方程思想、建模思想以及运算能力，有效考查双基下学生的学科素养和能力。

例1至例5函数试题考查学生对函数概念、性质、图象等基础知识，判断零点问题等基本技能的掌握，渗透了数形结合思想，明晰函数与方程之间的有机联系等，强调考查学生对知识本质的理解，以及对数学方法的运用，而避免繁琐的计算。函数试题的难度变化主要表现在分类讨论的严密性和复杂性、函数各性质的交汇度以及运算的技巧性上等等，有效考查了学生逻辑推理、数学抽象、数学运算和数学建模等核心素养。

2.2 强调知识的融合，考查综合应用能力

函数所涉知识点较多，高考题常以函数为载体，整合方程、不等式、线性规划和解析几何等知识，构建关联结构。除融合其它专题知识，试题同样强调函数各分支内容的交汇和渗透，常综合函数的图象与性质、导数与切线、指数函数与对数函数、导数与单调性等，支撑起庞大的知识体系，考查学生综合应用能力。

思考与分析 本题主要考查函数的综合问题，包括分段函数与函数的零点问题，可分类讨论或参数分离。不仅考查函数本身的性质，同时涉及了函数与方程、函数与不等式，要求学生能够综合所学的知识、方法，渗透函数方程思想对问题进行逻辑推理。

思考与分析 本题以函数为载体，将几何关系与代数进行联系，从简单的垂直过渡到函数的相关运算，结合函f（x）的图象，判断点P、Q所在的曲线，并将P、Q理解为直线与函数图象的交点，减少运算量。考查了学生的思维能力、运算能力和空间想象能力。

例6、例7通过综合设计试题，将各知识点进行融合考查，强化知识体系的内在联系，要求学生具有扎实的基础，并能够综合运用所学的定义、性质、思想方法等分析问题和解决问题，促进学生形成更为全面的知识结构，同时隐含着对函数思想、转化思想、数形结合思想、逻辑推理、运算能力等素养和能力的考查。

2.3 试题突出创新性，考查创新能力

函数题大多从概念本质出发，特别在解决基础的函数问题时，解题方法具有一定规律性，因此学生容易产生思维定势。高考题的灵活性增加，不拘泥于固有思路，探索简捷、有效的方法，考查学生的创造性思维和探索应用能力。

3 启示

3.1 聚焦四基四能，培养学生核心素养

高考题重视对函数内容全面系统的考查，大比重覆盖函数各项基础知识。并注重对数学思想方法、解题技能的掌握和应用。因此，教学中应立足四基四能，强化学生对基本知识的理解和数学能力的培养。增强考查内容的基础性和渐进性，强化学生的核心素养，形成具有数学特征的思维品质和关键能力。在解决一系列函数问题的过程中培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养，与知识形成有机整体。

3.2 强化项目学习，激发学生深度思考

高考数学中函数题的综合性普遍较强，一题多考，即同时考查若干知识点和方法，或融合应用背景和跨学科内容，考查学生的综合应用和灵活思维能力。因此，教师可考虑项目学习，设置一系列与函数有关的知识主题，根据学习内容、学科领域、应用实践等角度，构建不同的项目课程，引导学生理解概念本质和知识网络的内在联系，不断提出质疑，形成从低阶思维到高阶思维的深度思考。培养学生的逻辑思维能力和综合运用能力。

3.3 注重思维教学，培养学生创新能力

函数内容丰富、方法灵活，创新点不仅在于各知识内容的融合，更在于灵活、多样的解题思路在教学中，教师要注重培养学生的创新思维和探究能力，有意识地呈现新试题、拓展新路径、整合新方法。关注学生的思维过程，从简单问题到尝试探究，逐步编排创新型试题，激发学生从多角度探索解题方法，而不拘泥于固有思路，培养学生的发散思维和创新能力。