信号与系统课程中卷积运算的教学方法探讨

文静

[摘 要]针对信号与系统课程中卷积运算非常复杂，学生很难掌握的问题，本文提出采用开火车的方式对卷积运算过程进行讲授，把一信号看作火车站，另一信号的自变量变换信号看作火车，在开火车的过程中完成卷积运算，这样可让学生直观了解卷积运算的过程，轻松掌握卷积运算方法。

[关键词]LTI系统; 卷积运算; 开火车

[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2020）08-0071-03

在信号与系统课程中，线性时不变系统是一种很重要的系统[1-3]，各种领域的不同系统在很大程度上都可以近似的建模为线性时不变系统，而且我们可以利用线性时不变系统的线性和时不变性去分析该类系统的其他性质，即线性时不变系统具有普遍性和可分析性，它是我们在信号与系统这门课程中的教学重点之一。

卷積运算被用来描述线性时不变系统输入与输出之间的关系[4-5]，一个线性时不变系统对任意输入信号的响应等于输入信号卷积该系统的单位脉冲响应， 由此可见，卷积运算是分析线性时不变系统的关键运算。因此，信号与系统课程要求学生能够熟练地掌握卷积运算的运算方法。然而卷积运算的运算法则涉及到信号的自变量变换，信号的乘法和积分，所以让学生感觉非常的复杂，很难掌握其计算方法，这使得卷积运算成为信号与系统课程中的教学难点。 本文提出采用开火车的方式进行卷积运算的教授 ，能够让同学们直观的了解卷积运算的过程，使学生轻松掌握卷积运算的运算方法。本文以离散时间信号和系统为例对信号与系统课程中卷积运算的由来和计算方法的教学方法进行介绍，连续时间信号与系统的情况与其类似。

一、信号与系统课程中卷积运算的由来

在授课中应该首先让学生了解在信号与系统课程中，卷积运算的由来及其重要性，让学生从根本上理解其物理含义。

单位脉冲信号被用做构成信号的基本信号单元之一，这是因为它不仅能表示绝大多数信号，而且线性时不变系统对它的响应结构足够简单。于是我们把任意一个离散时间信号分解成无数个移位脉冲信号的和，如图1所示。图1的分解图可以轻松引导学生得出以下结论：

即，任意离散时间信号都可以表示成移位单位脉冲信号的加权线性叠加。

式（3）的解读为：线性时不变系统的输出信号等于输入信号卷积系统的单位脉冲响应，即当系统的单位脉冲响应确知，则系统的输入和输出的对应关系就确定了，因此得出了线性时不变系统的一个基本性质：单位脉冲响应能够完全的描述线性时不变系统。

二、卷积运算的运算方法

从卷积运算的定义可知，卷积运算涉及到到信号的自变量变换，信号的乘法和积分，是一种复杂的数学运算。为了使学生能够更轻松的掌握这种运算方法，本文提出了采用开火车的方式来进行卷积运算。

接下来，举例说明用开火车的方式做卷积运算的过程。

进行卷积运算的步骤如下：

步骤一：确定火车站和火车。以k为自变量，信号x[k]就是火车站，如图5所示，火车站的位置在横坐标为0～5之间，而信号h[k]的自变量变换信号h[n-k]即是一辆火车，火车头和火车尾分别为n和n-4，n的大小决定了火车头和火车尾的位置，也就是火车的位置，n从负无穷大逐渐增加到正无穷大的过程就是火车从坐标轴的最左边一步一步开到最右边的过程。

步骤二：开火车，对信号y[n]进行分段求解。如图6所示，火车在从左往右开的过程中经历了几个不同的阶段。

三、 结语

信号与系统课程要求学生能够熟练掌握卷积运算，然而卷积运算是一种相对复杂的运算，学生掌握起来非常困难。本文提出了一种开火车的方式进行卷积运算，让学生能够很直观的了解卷积运算的过程，从而更加轻松的掌握该运算。论文用离散时间信号为例讲解了用开火车方式进行卷积运算的过程，该方法对于连续时间信号同样适用，只需要将求和换成积分即可。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 刘树棠.信号与系统（第二版）[M].西安：西安交通大学出版社，1998.

[2] 郑君里，应启珩，杨为理.信号与系统（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3] 徐守时.信号与系统[M].北京：清华大学出版社，2008.

[4] 陆伟，顾理，刘勇.“信号与系统”课程中LTI系统描述方法分析[J].工业和信息化教育，2018（12）：25-28.

[5] 詹平红.“信号与系统”教学模式的研究与实践[J].工业和信息化教育，2016（9）：23-25.

[责任编辑：黄紧德]