浅析导数的概念及其应用

摘 要：本节探讨一元函数的导数的概念，引导学生思考如何用数学的语言精确地研究函数的相对变化率问题，进一步地分析导数在不同专业和背景问题下的实际应用。

关键词：变化率; 瞬时速度; 切线斜率

中图分类号：0172              文献标识码：A     文章编号：1006-3315（2020）8-125-001

高等数学是大学新生普遍会开设的一门数学基础课，其对学生其他数学专业课程的学习起着重要的基础作用。然而，较强的逻辑推导和繁杂的公式让许多学生望而生畏。如何在数学课程的教学中将理论知识与实际应用紧密结合起来[1]，这在高等数学课程的教与学中是一个值得探讨的问题。

在高等数学第一章中，我们介绍了函数连续的概念以及性质[2]。函数的连续性体现在某一点处对函数绝对改变量的分析。但是在很多理论和实际问题中，例如如何求解变速运动的瞬时速度等问题中仅仅知道绝对改变量的分析是不够的，如何研究相对改变量呢？这就是本节探讨的问题。

一、变速直线运动中的瞬时速度

讲解著名物理学家牛顿的故事。结合引例的分析引导学生思考如何从求平均速度到求质点在某一点的瞬时速度。思考如何利用极限的思想，从计算平均速度的公式出发，通过求极限来推导出瞬时速度。

引例1：设某质点沿直线作变速运动，在时刻t的位置s=f（t）。如何描述质点在变速直线运动中的瞬时速度？

分析：引导学生思考在已知（t0，t0+△t）内的平均速度后，如何求在t0的瞬时速度。即瞬时速度是平均速度的极限形式：

v=[lim△t→0][f（t+△t）-f（t）△t]=[limt→t0][f（t）-f（t0）t-t0]

二、切线的斜率

讲解著名数学家莱布尼兹的故事，了解牛顿与莱布尼兹如何殊途同归，分别从物理和几何两个方面给出了导数的基本定义。让学生体会“以直代曲”这种将复杂问题转化成我们已知的简单问题的一种基本方法。

引例2：设光滑曲线C：y=f（x），M（x0，y0）是曲线C上的一点，如何定义C在M的切线？

分析：

*割线MN的斜率

*切线MT的斜率

k=tai

三、导数的定义

在前面分别从物理中的瞬时速度和几何中切线斜率两个方面计算导数的基础上，给出导数的基本定义。

定义1：设函数y=f（x）在U（x0）内有定义，若[lim△x→0][△y△x]=[limx→x0][f（x）-f（x0）x-x0]存在，则称函数f（x）在点x0处可导，此极限为y=f（x）在点x0的导数，记[dydx]x=x0或f（x0）。

在这一过程中要求引导同学们理解变速直线运动的瞬时速度以及切线的斜率这两个导数的具体例子，将极限、“以直代曲”等基本思想贯穿始终[3]。

四、导数的计算

引入了导数的概念后，如何计算导数就成一个教学的难点问题。主要分为三个步骤：第一步是计算函数的增量，注意增量可正可负。函数值的增量为：△y=f（x+△x）-f（x）;接下来求解函数的增量比：[△y△x][=f（x+△x）-f（x）△x];最后通过极限的计算求解函数的瞬时变化率：f'（x）=[lim△x→0][△y△x]=[lim△x→0][f（x+△x）-f（x）△x]。

通过具体例子让学生熟练掌握用导数的定义来计算导数的基本方法。

例1 求函数y=ex在x=0处的导数。

解：首先求解函数的增量△y=f（0+△x）-f（0）=e0+△x-e0，然后计算函数的增量比值：[△y△x]=[e△x-1△x]，最后求解增量比值的极限：

[y']x=0=[lim△x→0][△y△x]=[lim△x→0][e△x-1△x]=1。

本节段采用特殊到一般的方式展开对难点的分析，学会判断函數在某点的导数是否存在，接下来才能使用求导的一些公式来进行求解。特别强调如果直接用求导公式，实际上是已经假定了函数的导数是存在的，这就会犯本末倒置的错误。

五、总结与拓展

本节探讨了一元函数的导数。引导学生理解在理论和实际中有着广泛应用的导数的概念。结合实例启发学生深刻理解导数的概念：从变速直线运动的速度以及切线的斜率两个方面归纳出导数的定义，结合几何知识让学生体会微积分中经常用到的“以直代曲”的数学思想。通过科学家的人物介绍培养学生的数学素养，在数学专业的学习中注入人文思想[4]。

参考文献：

[1]左玲.浅谈人工智能时代的工科数学教育，考试周刊，1673-8918，2018

[2]高等数学，第七版上册，同济大学数学系，高等教育出版社，2018

[3]Joel Hass，Christopher Heil，Calculus，Pearson，2003

[4]Richard Courant，Fritz Jo，Introduction to Calculus and Analysis，Springer，2008