数学思维可视化工具的类型及其应用

沈利玲

摘 要     数学是一门具有高度抽象性逻辑思维的学科，对小学生来说难度较大。因此可以采取一些数学思维可视化工具辅助学习，通过量化的图表更直观地反应变量数值及变化过程，降低学习难度，同时拓展学生的思维空间。小学数学思维可视化工具分为思维地图、思维导图、概念图三大类别。分析思维图表对数学概念阐述的不同效果，以及对学生数学学习带来的不同影响，可以为教师提供一定的参考借鉴。

关键词  小学数学 可视化工具 思维导图 思维地图

在数学学习的过程中，复杂的逻辑关系、主题与客体的相互作用共同催生了数学认知的思维活动。抽象的数学概念借助一系列具象载体和介质在主体的印象中形成新的认知。如何确保认知的准确性，提高数学学习的效率，降低认知难度，是检测数学思维可视化应用的重要指标。数学的符号体系是一个完整而复杂的系统，各类符号和图像之间都有着密不可分的逻辑关系。在小学阶段的数学符号体系相对简单，种类也有限，为了方便小学生理解应用，可以通过浅显易懂的方式将抽象难懂的数学逻辑概念转化成适合小学生学习的数学知识。可视化工具的衍生对数学学习者来说是便捷而快速的学习途径之一，也是较为独特的一种数学语言，不仅能够提高数学学习效率，更能够拓展学习思维，锻炼学习者的探索能力。

一、思维地图及其应用

思维地图工具在1988年Expand Your Thinking一书中被首次公开提出，作为一种数学可视化工具，它的诞生使越来越多的教育工作者形成了新的知识体系构建途径。思维地图具有精准的概念阐述及类比功能，可对某一个晦涩难懂的知识点进行详细阐述，并将多个相似概念放在一起类比，分析异同，研究各个概念间的相互关系，形成更为完善的知识体系框架。小学数学教学中常用的思维地图包括以下几种。

1.圆圈图

圆圈图是思维地图中一种十分常见的表现形式，能够锻炼学生数学变式能力、数学推理能力及数学概念的概括能力，锻炼学生对各类数学要素的协调能力，提高整体的数学思维能力。

圆圈图的绘制方法相对简单，以某一个概念为中心，列举同类对象。由于小学生思维模式较为简单，所学内容也有限，因此可自由格式书写，不限数量，尽可能地将能够想到的抽象、具象的图像符号与核心数学概念相联系，在同一幅圆圈图中加以体现。通过圆圈图的直观体现，分析各个对象的共同特征，得出这一概念的特征和性质。

以人教版《数学》五年级下册第四单元“分数的意义和性质”为例，教师带领学生初步认识分数的表现形式和含义后，可以鼓励学生自己创作圆圈图，在圆圈图中尽可能地例举的表现形式。例如统计中学过的饼状图，小数中学过的0.25，通分之后，以及多种几何平面表现形式（图1），充分发挥学生的想象力，锻炼小学生的发散思维，使学生从多个维度进一步理解分数的意义和性质，同时巩固所学知识内容。

2.气泡图

气泡图也是思维地图中较为常用的一种表现形式，一般用来做发散思维训练，总结某一个概念的各种特性。和圆圈图不同的是，气泡图中每一个气泡都可相互关联又相互独立，围绕着核心概念形成一个完整而有逻辑的整体。气泡图能够提高学生的发散思维能力，增强学生的分析总结能力，培养学生的学科素养，锻炼学生的逻辑能力和探索能力。还是以人教版《数学》五年级下册第四单元“分数的意义”为例，在学习这一课后，教师可要求学生绘制气泡图来检验学生的知识掌握情况。如图2，是分数的气泡图，以分数这一核心概念为出发点，分散出五个特征概念：可以化成小数、百分数，表示一个物体中的几份，也可以通分和约分，表示一些物体中的几份。

气泡图除了表现数学概念的特性，还可以用来对比两个概念之间的区别及关系，探究二者之间的不同。在气泡图的众多表现形式中有一种独特的形式——双泡图。双泡图的产生源于对两个相似概念的探究，辅助学生进行类比推理，通过对比两个不同概念之间的联系与区别，明确二者在应用过程中的相似性。学生在掌握了新概念之后，通过与旧概念的类比，得出二者之间的相同属性与不同属性。绘制双泡图，进一步探究两个概念在数学学习过程中的不同应用模式与运用法则，同时也对二者做了合理区分，避免学生由于二者的相似之处产生思维混淆。图3为双泡图所表示的整数和小数的特征区别，用于帮助学生归纳整理，区分整数和小数的特点，更加准确地完成数学学习任务。

3.树形图

树形图顾名思义，类似于树状，又名Tree Map，由一个顶端概念出发，由上到下分裂出数层分支，每个分支标明不同的概念，逐层分散解释。树状图的衍生主要是用于对知识体系的整理，使学生理解各类概念之间的包含关系。通常情况下，顶端的上位概念范围比较大，末端的下位概念则属于具体的小范围概念，甚至是某一个具体的数值。

以人教版《数学》四年级上册为例，图4是这册教材知识的树形图分析，将各单元打散重组，归纳整合，分为4个大板块——数与代数、图形与几何、统计与概率、综合实践，各个板块下面还有细分，如数与代数可细分为数的认识、数的运算、探索规律，数的认识下面可以列举第一单元“大数的认识”，统计与概率中统计下面可列举第七单元“条形统计图”。对同一个大概念，每个人的思维体系不一样，思维认知也不一样，可以说，越是庞大的概念，每个人绘制的思维地图就越是千差万别。

4.括号图

括号图与树形图十分相似，树状图为上下结构，括号图则为左右结构，所表现的是部分与整体之间的逻辑关系。括号图相比于树形图在形态上更加清晰，且从左到右的排列方式更加符合日常阅读顺序。

在人教版《数学》四年级下册第五单元“三角形”的教學中，可以根据已经学过的几何图形绘制一张括号图（图5）。

括号图不仅仅被应用于数学课程，在其他学科中也是常见的归纳模型。在小学数学中的应用，能够帮助小学生塑造逻辑思维和系统归纳意识，化繁为简，培养学生的学科素养，提高小学数学学习效率。

二、思维导图及其应用

思维导图是一种极富逻辑性和发散性的系统归纳方法，在数学学习过程中，合理地运用思维导图能够使小学生从小掌握分析能力，锻炼他们的发散性思维和联想能力，培养他们的分类认知。

思维导图常常被应用在学科内容复习阶段，更加注重学生知识体系的自主梳理和建构，鼓励学生自主设计、自主罗列、自主学习，鼓励学生独立思考，亲自参与对学科体系的建构过程，增强记忆。绘制思维导图也是检验学生对学科内容知识的掌握情况的重要指标。除此之外，思维导图还是学生自我评价的重要工具，数学课程标准指出：“在对学生的学习内容进行评估时，应该对学生的自我评估和相互评估予以保留”。思維导图的诞生无疑是学生对学习内容最好的评价与反馈，透过思维导图，我们能够充分了解学生在数学学习过程中遇到的困难以及知识点的遗漏，使学生的知识体系和网络得到进一步的完善。

思维导图对学生学习方式也有一定的调节作用，通过思维导图的绘制，学生能够创造性地联系各个知识模块，主动思考各个知识体系之间的联系，变被动为主动，更有利于培养学生的数学学习兴趣。图6为小学除法课程思维导图示例。

三、概念图及其应用

概念图能够有效地将课堂上较为抽象的、晦涩难懂的知识点变得直观易懂，更加具体形象，便于学生掌握。小学阶段的数学概念图绘制，更加侧重于不同概念之间的规律、联系。数学学科的学习效果往往和学习兴趣、学习热情直接挂钩，因此教师在数学教学过程中，应该注意对学生兴趣的培养，利用概念图化解数学概念的抽象性，降低数学学习难度，在潜移默化中使学生感受到数学的魅力。

在识图阶段，教师应该合理整合教学资源，不断变换视图方式，利用学生的好奇心，增强数学教学课程的趣味性，引导学生主动学习，提高学习效率，打造高效课堂。

在绘图阶段，教师要指导学生自主绘图，并且强调绘图质量，在保证学生能够完整表达自己的知识体系的同时，尽可能地提高绘图水平，使概念图清晰明了，新旧知识点一目了然。这不仅能够帮助学生巩固知识体系，还能够培养学生动手实践的能力和创新性的思维模式。

除此之外，要注重对学生用图意识的塑造，使学生在自主学习的过程中独立完成概念图的绘制工作，根据自己的知识体系呈现做自我反省检查、查漏补缺，完善数学概念网认知络。尤其是在复习阶段，概念图的知识体系能够浓缩教材重点，化抽象为具体，指导学生针对自己的薄弱模块加大复习力度，节约复习时间，提高复习效率。图7为平面图形相关知识的概念图示例。

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[责任编辑：陈国庆]