理工科专业基于MATLAB辅助线性代数教学改革与实践

李泓霖

(重庆师范大学物理与电子工程学院 重庆 401331)

线性代数是各理工科专业的一门基础必修课，具有广泛的实用性，其主要研究线性空间相关问题，逻辑性较强。线性问题广泛存在于各个科技领域，本课程所介绍的方法可适用于各个学科。通过该课程的学习，要求学生掌握线性代数的基本内容，如行列式、矩阵、线性方程组、线性空间等[1]；预期能够使学生具备一定的空间想象力和分析解决问题的能力，为后继专业课的学习做好必要的数学准备。这些学科特点对线性代数的教学提出了新要求，不仅要求学生掌握基础的知识、具备解决基本问题的能力，还要在此基础之上谋求创新发展。我国高校目前大多重知识轻实践，对关键知识点的理解把握关注不够。这就造成了许多应用型工科专业学生对相关概念的具体内涵不甚清楚。线性代数课程最大的特点是理论性强、知识体系涵盖范围广，要求学生准确把握和理解关键知识点存在相当的难度。实际教学过程中发现，学生面对诸如转置、分块矩阵、向量内积，尤其是特征值和特征向量等抽象概念的时候，只能凭想象去理解而无法建立直观的感受，因而常产生厌学情绪，伤害学生的积极性，教学效果往往不及预期[2]。针对上述线性代数课程特点，我们从教学模式方面进行了全新的尝试。经过两学期的教学实践，发现利用MATLAB辅助教学可在最大程度上帮助学生直观地理解线性代数的几个重要概念并达到课程培养目的。

一、线性代数教学现状

线性代数是我院电子专业本科学生的专业主干课程，其教学目标是使学生基本掌握几类计算方法，较好地理解线性代数这门课的抽象理论，培养学生的创新能力、自学能力和应用能力。但以往课堂教学无法达到这种效果，主要是由于以下几点问题：

（一）学习缺乏积极性

本专业的线性代数安排在大一上，与高数同步进行。此时学生不仅要适应高数的教学节奏，还要逐渐培养适合线性代数的学习策略。从实际反馈看，大一学生普遍反映线性代数难于高等数学，出现了畏学厌学、学习兴趣减弱、积极性下降等情绪。这些现象主要是由于高数中如函数、导数等概念可以顺利延续中学的理解，学生可以快速构建自己的数学体系来帮助理解新知识[3]。而线性代数的很多概念都是全新的，比如行列式、转置、逆序数、矩阵、秩、正交等，而且线性代数知识体系有较强的内在关联性和逻辑性，对大一新生而言，一旦初期跟不上，后续很难通过自学完成课程目标，导致失去学习兴趣。

（二）知识体系联系紧密、内容抽象

线性代数的知识点都具有一定的抽象性和概括性。教学中很多时候不可避免地脱离实际情景去讲述重点难点，这样教学模式就显得单一，内容难免枯燥晦涩。此外，我们调研发现各大高校的线性代数教学安排普遍为32学时，考虑到实际情况我们学院增加到了48学时，但实际教学过程中仍感到学时略显不足。

（三）教学模式传统，学习方式单一

目前我院线性代数采用课堂讲授、课后做题的传统的授课模式，学生基数大，难于单个独立辅导，学生在课堂上有疑问无法及时得到解决，只能对共性问题加以解释[4]。为了在有限的时间内完成规定的课程目标和教学任务，教师往往专注于重要知识点的讲授，侧重于理论的阐述，而相应的背景知识、如何灵活运用、怎样与专业知识相联结等方面相应地有所减弱，这就会出现学生只懂得做题，而不会利用所学解决实际问题的情况。

（四）评价体系不完善

与大多数兄弟院校类似，目前我院对学生学习的考核方式为期中考试、平时成绩和期末考试，各占30%、20%和50%。平时成绩主要以考勤、作业及课堂表现进行考核。该考核体系测评因素多为考查学生的计算能力、知识点掌握的程度和一部分应用能力，而对学生的学习主动性、创新性、创造性等自主学习能力测查不够。

二、针对线性代数教学现状的改进措施

（一）着重培养学生的学习兴趣和积极性

要提高学生对线性代数的学习兴趣，需要加强所学知识与相关专业课程的融合，调整传统单一授课模式，顺应高校教学发展，将专业软件、数学建模、数据分析等融入日常教学中，充分利用好工科专业具备的实训环境与硬件资源，培养学生实际操作分析能力。以我院为例，近年来不断加强线性代数与python、MATLAB、大数据分析等课程的整合沟通，让学生切身感受到知识的应用价值。

（二）改进考核方式，增加实践环节

课程考核是衡量教学成果、评价学习成效的重要环节。根据我们近几年的实际教学经验，可在原期中考试、平时成绩和期末考试三部分中加入第四环节：课程实践，占总成绩的10%，期中考试分值降至20%。课程实践采用课后作业形式自由发挥，遴选具有一定抽象性与发散性的知识点，结合实际背景，让学生充分讨论分析，查阅文献等相关资料，最后以电子文档形式给出解决方案。

（三）改进教学方法，丰富教学手段

加强线性代数知识的理解并为后续综合应用需从两方面认识：课堂知识与应用技能[5]。课堂知识是实践应用的基础，从程序本身讲，线性代数中的绝大部分知识点都可用MATLAB来实践。我们需要做的就是适当合理地引导学生，使其熟练掌握这些可由程序完成的运算操作。通过前期沟通，我们学院将MATLAB也安排在了大一上学期开设，这样利用软件来完成线性代数知识点的理解和巩固成了最优的安排配置，以此提高学生运用知识的能力。让学生运用MATLAB进行简单操作，并实践相关的知识点包括：行列式与矩阵、转置的概念、矩阵的秩、矩阵的基本运算以及求解线性方程组等。

三、基于MATLAB平台的实践教学探索

要对线性代数进行教学改革，理论联系实际则成了不可或缺的环节。最好的方式是让学生自己动手，依托所学知识点进行相关具体探索与操作。矩阵及其运算、转置、向量的内积等知识点往往抽象难懂，课堂讲授的模式学生较难理解[6]。为了解决这一现实问题，我们结合同期开设的MATLAB课程搭建起了成本低、简单易用、界面人性化的MATLAB实践教学平台，作为课堂讲授的有效补充。

以第二章矩阵及其运算章节为例，矩阵的基本运算性质（假设运算可行）包括满足交换律和结合律，而矩阵与数的乘法是将数乘矩阵A中的每一个元素。我们在解释矩阵与数的乘法这一知识点时，让学生做出一个矩阵图形，然后对其进行数乘操作，可以非常直观地理解为什么需要将数乘以矩阵A中的每一个元素。

图1 利用MATLAB对矩阵数据进行作图（学生作业）

能带结构是半导体物理中重要的基础知识，我们给学生一个半导体能带结构的矩阵数据，要求学生利用MATLAB作出相应图形，而后进行数乘运算。能带结构是半导体物理中的概念，贯穿电子专业后续必修课程的学习。对能带的理解需要固体物理相关知识的支撑，这对学生存在一定的难度。这一步我们直接给出矩阵数据，让学生自由作图并修改。图1为学生实际作出的能带矩阵图，从中可看出半导体的宽度及导带和价带等特征。如果对其进行数乘运算，则图形整体将发生变化，这使得学生能够直观地看出为什么矩阵的数乘运算要对矩阵中的每一个元素进行操作，使学生明白其中的关联。同时更可加深对晶体结构、作图细节等技能的理解和掌握，为后续深入学习打好基础。根据我们的观察分析，这种实践环节的加入能够明显提高学生的主动性和积极性。通过MATLAB辅助实践教学，明显改善了线性代数的教学效果，让学生更深入地理解线性代数的基础知识，激发了他们的创新思维和钻研精神。

四、结束语

线性代数是工科专业的一门基础必修课，不仅要求学生了解相关基本概念、基本知识和基本方法，为后续专业课打牢基础，还要提高实际解决问题的能力。本专业的培育目标是为社会输出合格的应用型人才，根据以往线性代数教学过程中存在的问题，我们对相关的教改内容提出几点思考，并进行了有益探索。本文介绍了MATLAB在教学实践方面的应用，结果显示这种模式可初步解决线性代数课程抽象难懂的问题，激发学生的学习兴趣，有效补充实践教学环节。