巧用初中平面几何知识解三角形

陈政敏

(重庆市田家炳中学 重庆 400050)

解三角形是高考中的热点，也是难点，涉及正余弦定理、三角函数的公式应用，综合性较强，计算量大。学生普遍反映最害怕这一类题：题目不告诉边角关系，而是给出几何图形，图形看起简单，题干简洁，但条件很分散。如果用传统的方法（正余弦定理和三角函数中的公式）来解决，往往显得很繁琐，计算量特别大，但如果能与初中的平面几何知识（全等或相似、旋转等）相结合，很多问题就会迎刃而解。下面通过两道题重点分析这类题的典型解法和最优解法。

解：把△ACE绕着点a顺时针旋转60o，得到△ABF，连接DF，由旋转的知识可知：AF=AE，BF=CE=5，∠FAB=∠EAC，∠ABF=∠C=60O，

∴∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE=∠BAC=60O

又∠DAE=30O

∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠FAE-∠DAE=30O=∠DAE，△AFD≌△AED

∴DE=DF.

在△BFD中，BD=16，BF=5，∠FBD=120O，由余弦定理得DF2=BD2+BF2-2BD·BF·cos∠FBD=361，∴DF=19，

∴AB=BC=BD+DE+EC=40

画龙点睛：解法三巧妙利用初中平面几何旋转和全等的知识，把零散的条件集中在△BFD中，用余弦定理求出DF，解方法三相对于解法一和二，计算量小得多。

从以上两个例题的解法分析可以看出，尽管是高中的数学问题，也可以用已学的初中知识来解决。涉及解三角形的题目，可以合理利用平面几何知识，适当添加辅助线，构造直角三角形或者构造全等三角形，把不在一个三角形的问题转换到同一个三角形中来处理，再结合三角函数计算，从而减少运算量，轻而易举地解决问题。