“长程视野”下对“小数”概念教学的思考

江苏常州市五星实验小学 张 姝

人们把现实生活中的数量抽象为数，形成自然数，并且用十个符号和数位进行表示。“数”是学生接触的第一个抽象概念。小学数概念是数学教学的重要内容之一，对学生正确进行列式、计算、推理等数学活动有着奠基作用。“数概念”教学的各年段教材的分级编排，有利于学生体验 “数范围”的连续生成和扩展过程，实现对“数概念”的逐步完善和自我建构。教师要有“长程视野”，以培养数学核心素养为前提，在整体知识结构的基础上，思考“数概念”教学对小学生发展的独特价值，以渐进式整体设计指导学生实现对“数”认识从“点状”分散到整体综合的转变，进而获得提升和超越。笔者以下将结合“小数”概念教学作具体阐述。

一、厘清“小数”的知识结构

正如布鲁纳所言：“不论我们选教什么学科，务必使学生理解学科的基本结构。这是在运用知识方面的最低要求，使它有助于解决学生在课堂外所遇到的问题和事件，或者日后在课堂上训练所遇到的问题。经典的迁移问题中心，与其说是单纯地掌握事实和技巧，不如说是教授和学习结构。”这种结构是普遍性的、适用性的结构。

第一，小数计数采用的是与整数相同的十进制。根据现实生活的需要，我们可以将一个物体进行平均分，由此产生了分数。小数是用10的累乘作为分母的分数的一种表示形式，简单地说小数是“十进分数”，“十进”是小数的本质。正如整数从右往左看是满十进一，那反过来从左往右看，把千位的计数单位 “千”10等分，一份就是一百，是百位的计数单位，把百位的计数单位 “百”10等分，一份就是十，是十位的计数单位……在同一个数中，如果要从个位往右生成新的计数单位，必须遵循和整数部分相同的原则，把个位的计数单位“1”也10等分，每份是“1”的十分之一，就生成了十分位；把十分位的计数单位再10等分，相当于把“1”平均分成100份，生成百分位……由此可见，小数不仅可以与分数之间进行相互转化，而且还与整数的十进制计数相统一。按照满十进一的原则，以“个位”为中心，向左可以创造出无限个数位，再大也能够表示；向右也可以创造出无限个数位，再小也都可以表示。以此方式，小数和自然数一起构成了完整的位值计数系统。

第二，小数的认识具有与整数相类同的知识结构。主要从数的意义、组成、读写、分类、排序等方面来认识。

二、体现递进的教学思路

学科教学是 “培养人”的载体，教书最终是为了“培养人、发展人”。面对静态固化的书本，如果教师只是提出现成的知识，就抑制了学生内心隐藏的主动精神和探索欲望，阻滞了学生数学思考的深度发展。

苏教版小学数学教材分两次安排了小数概念的教学，体现螺旋上升的原则。三年级下册的《小数的初步认识》和五年级上册的《小数的意义》，通过初步和再学的两次循环教学，使学生对小数的认识得以逐步丰富。通过对两册教材内容的解读，笔者把数知识的内在结构、数知识的创生和发展过程、学生的学习基础和生活经验作为育人资源，沟通教材与现实生活之间的联系，丰富学生抽象概念的过程体验，整体设计第一课时，体现同一内容不同年段的递进性教学。

教材教学 三年级下册 五年级上册小数 小数的初步认识 小数的意义学习目标1．结合具体情境初步认识一位小数，理解一位小数的意义2．会读、写一位小数，认识小数点及十分位，了解个位、十分位之间的进率1．结合具体情境进一步认识两、三位小数，理解意义2．会读、写小数，知道小数部分的数位名称及顺序3．知道小数的计数单位及小数部分相邻单位之间的进率学生情况分析1．具备了一些“数概念”学习经验，掌握了万以内的数，认识了万以内整数数位表，知道整数2．计数单位及相邻单位之间的进率3．初步认识了分母是10以内的分数，对于分母是100及1000的分数有感悟，但没有系统学习4．绝大多数学生在生活中对小数有初步的接触学生已有1．学生对整数已经有了比较系统的认识，对分数、小数有了初步认识2．在三年级的学习中初步知道了小数是怎么产生的，能找到相邻两个整数之间的一位小数3．学生对小数的意义、数位、计数单位、进率等有所了解，但这些认识是零散的，缺乏结构化的系统认识学生困难1．不知如何用数学的眼光认识、理解生活中的小数2．不理解小数为什么是“十进分数”，为什么会出现这样的计数单位3．对相邻两个整数之间的一位小数认识模糊，尚未建立数敏感1．想象小数有困难。要理解相邻两个整数之间有哪些两位小数、三位小数、甚至四位小数并建立数敏感，能迅速在数轴上找到小数的位置，对大多数学生来说是有一定困难的2．运用计数单位说小数的构成有难度3．体会无限细分，体悟小数在比较中的精确作用，还需强化问题情境创设情境：比身高 创设情境：比身高生成小数1.群体回忆生成一位小数，生成十分位、计数单位，并命名2.学生独立研究，生成两位小数，生成百分位、计数单位，并命名3.运用想象产生三位小数，生成千分位、计数单位，并命名核心推进过程1.用米尺测量课桌面的长、宽，用不同的形式表示长度2.认识整数部分是0的一位小数认识整数部分不是0的一位小数3.在0～1之间生成一位小数在1～2之间生成一位小数知道在任意两个整数之间生成一位小数4.命名认识数位顺序小数的实际意义拓展延伸初步认识和理解一位小数，知道有小数部分 初步感知小数的数位顺序，尤其是小数点右边的小数部分1．生活中的一位小数、两位小数、三位小数……2．解决“比身高”的现实问题1．生活中的一位小数2．解决“比身高”的现实问题1．联想到两位小数、三位小数……2．后续会学习比较大小、计算等 小数的组成、比较大小、四则计算等感悟结构1．知道从认识数的内容结构出发认识小数2．渗透产生小数的方法结构、过程结构1．知道从认识数的内容结构出发认识小数2．感受、掌握产生小数的方法结构、过程结构

三、提出关联的教学建议

“小数”概念教学的育人价值是：帮助学生了解小数形成的过程，理解小数所特有的精确性作用；引导学生充分经历在数射线上把相邻两个整数之间的距离平均细分并用小数表示的过程，形成对小数内涵的认识；帮助学生体会无限逼近的数学思想；感受前人在发明小数过程中的伟大智慧。基于此，对“小数”概念教学笔者有如下建议：

（一）“长程两段”结构化教学

结构教学具有较知识点要强得多的组织和迁移能力，为学生掌握和灵活运用结构进行主动学习提供了可能。通过这种结构的迁移，既可以使学生因结构的支撑而乐于、善于主动地学习，又可以使学生形成主动学习的习惯和能力，还可以使学生形成积极向上的学习心态和主动发展的人生态度。在“小数的认识”教学中，教师要引导学生与“认识整数”的内容结构进行勾连，这样才有可能帮助学生逐渐形成运用结构进行自主迁移、类比学习的能力和意识。

初步认识小数 （三年级）：第一，经历列举过程，引导学生发现0～1米之间可以10等分，分数得以产生，组织学生集体学习0.1。通过类比，将这样的学习结构向0.2～0.9的认识过程转移，指导学生初步明确一位小数的意义，以及读、写等，使学生生成新的数位和计数单位的初步体验。第二，接着在类比1.1～1.9的认识过程中，类比到任意两个相邻自然数之间的一位小数的认识。学生通过若干一位小数的学习，利用类比迁移，很快所有的正一位小数都已生成。第三，回顾提取一位小数的学习结构，为结构化学习两位、三位小数储备学习经验。

小数意义（五年级）：唤醒学生三年级时学习一位小数的方法、过程等经验，让个体自主研究两位小数，教师通过过程性指导帮助学生解决困难。教学三位小数的意义时，教师则可以通过想象和推理帮助学生理解、学习和表达，最后，完成对数位顺序表的认识和交流，再次通过新旧知识的对比发现相邻计数单位之间都是十进制的特点。

（二）利用数轴感悟极限思想

1.把0～1平均分成10等份，其中的一份就是十分之一，用小数表示是0.1。接着丰富十分之几与一位小数之间的关系，总结概括一位小数就是十分之几。

2. 把0～0.1平均分成10份，也就是把整数“1”平均分成100份，其中的一份就是百分之一，用小数表示是0.01。接着丰富百分之几与两位小数之间的关系，总结概括两位小数就是百分之几。

3.继续这样的思考：建立三位小数、四位小数……的概念，进而概括出小数的意义。

（三）沟通、联系、完善知识结构

小数虽然是十进分数的特殊形式，但从相似性来说，小数更像整数。首先，小数和整数都遵循十进制计数法的位值原则，其相邻计数单位的进率都是10，这也是小数的读写法与整数相似的原因；其次，借助小数点的定位法则，小数比较大小和四则运算都可以如整数那样进行。所以，这一单元学完后可以让学生对比整理小数与整数，学生就有可能自主形成对“数概念”认知的结构。整理的过程既是巩固小数的组成、读写等基本概念，也是对小数知识的扩展。到第十册学习了分数的意义，还可以比较整数、小数、分数，后继了解了百分数以后就可以进行全面的整理，进一步完善知识结构。