将数学史融入中学数学的课堂

温孝明 徐月琴 刘磊

摘 要：美国数学教育家M·克莱因曾经说过：历史上数学家所遇到的困难，正是学生也会遇到的学习障碍，因而数学史资源是教学的指南。由此可见，数学史及数学文化资源对于我们中学数学教学有着重要的意义和不可替代的作用，它对激发学生的学习兴趣，帮助学生建构相关的数学概念，改变教师教学策略有着积极的作用。在HPM思想指导下，将高中数学课标中注重数学文化的渗透、融入教学的基本理念落实在我们的教学实践中，设计出有助于学生建构知识体系的教学方案，能够实现数学知识教育价值的最优化。

关键词：数学史;融入;中学

【中图分类号】G【文献标识码】B【文章编号】1008-1216（2020）04C-0028-03

这几年来，随着我们对数学史的研究，特别是数学史与数学教学之间的关系（The relations between the History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM）的研究，教育工作者们对它的认识已经发生了很大的变化。将数学史融入课堂教学中，对强化学生对数学知识的理解，激发学生数学学习的兴趣，提升数学教学质量，会有积极的帮助。教材的编委们也做出了很大的努力，但由于教材篇幅所限等诸多原因，对数学史的相关知识无法做到全面、系统地编排阐述，还不足以满足教学需求，学生往往看不出这些主题究竟为何产生又如何演进，看不到其背后数学家的活动历程，感受不到数学与人类生活及其他知识之间的密切联系。教师作为教学的主导者，要通过自己的学习研究，不断地开发相关资源，并融入课堂教学中。如何才能开发出真正的对课堂教学有实效的资源并融入课堂？通过对高中数学HPM案例开发与教学实验课题的研究，本文就数学史融入中学数学课堂教学的路径与方法等问题产生了一些想法，形成一些简单认识。

一、充分挖掘数学史文化价值，让学术形态转化为教育形态

将数学史融入数学教学（我们常常称之为HPM视角下的数学教学），其目的是实现数学知识教育价值的最优化。HPM研究主要是将“为教育的数学史”的教学引向更高层次。这就是说，要借助数学史料重现数学知识产生背景，再现其发展过程，展示知识本源，揭示知识内涵，了解人类认知历程和学习的困难、障碍，实现数学文化氛围的营造，使之有利于学生对数学知识的学习和理解。因此，在教学实践中，我们要将基于历史或数学目的的数学史研究资源转化为基于教育为目的的形态。如在中学数学教学中的概念——函数，它是整个数学知识体系中最核心的基本概念之一，几乎贯穿于整个中学数学的学习。它的完善经历了漫长的历史，从笛卡尔最早注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，到莱布尼兹1673年最早引入这一概念，再到19世纪中期由狄利克雷和黎曼給出的被公认为函数的现代定义为止，经历了近两个世纪的发展演变过程。我们无论如何不可能在短时间内把这个发展演变的过程完整地搬过来展示给学生，要把它形成、发展的演变过程等史料资源做一个比较细致的分析和梳理，将函数概念研究的学术形态转化为教育形态，才能更好地在教学中使用并发挥其作用。不难发现，在各位数学家不断赋予其新内涵的过程中，函数的概念包括集合观念下的函数、代数观念下的函数、对应观念下的函数、集合论下的函数。其概念的演变经历了x的函数是指x的幂;含x的代数式;含x的任意解析式;依赖于x或由x所确定的任意变量;与x相对应的变量等。而且整个演变过程是在相互交融与碰撞中以非线性的状态逐步完善的，这个演变过程同时也推动着整个数学的发展。从分类上来讲，函数的概念可划分为 “变量说”“对应说”“关系说”。“变量说”是函数概念的开始;“对应说”进一步揭示了函数的实质;“关系说”则解决了函数只允许数与数对应的局限性，也是目前函数的最一般形式化和最严格的定义。通过这样的分析梳理，教师在实际教学中不难理解，初高中数学教材中为什么函数的概念不同，高中数学为什么要用对应的关系来定义函数，从而更好地把握高中数学中函数概念教学的出发点、关键点、重难点、突破点，更好地预见学生在学习过程中的困惑、障碍，设计出适合学生学情的教学方案。让函数发展史的相关资源真正成为课堂教学中可利用的资源。

二、 合理利用数学史资源，拓展教师的教学视野

数学史的研究能够清晰地还原数学知识的发生过程，能为师生重现数学知识的产生背景、数学方法的形成途径，数学活动经验的间接感知，数学思想的提炼过程，进而揭示数学知识的本质，实现数学知识体系的科学建构，深刻理解数学知识的内涵。同时还可以营造数学文化氛围，激发学生的学习动力和兴趣。因此，教师要在认真分析、梳理的基础上，积极主动、科学合理地利用数学史资源，拓展视野，提升学生的数学素养。

（一）在创设情境中融入数学史资源，激发学习兴趣

兴趣是最好的老师。在我们进行的高中阶段数学史知识及文化融入课堂教学现状调研中发现，有70%的学生和95%的教师认为把数学史知识融入课堂中，对激发学生学习兴趣、帮助学生深入理解教学内容，甚至对其他学科的学习都具有积极的作用。因此，在课堂教学中，融入数学史资源，创设学习情境，对引发学生学习探究的意向与调动学生的学习兴趣，具有不可替代的作用。比如，在等比数列前 项和的教学中，用古印度国王奖赏国际象棋发明者的数学故事来创设情境，可以激发学生学习的好奇心，还可以借助于求和结果的科学处理，使学生体会等比级数的“爆炸式”增长，感受数学的神奇魅力，最终实现激发学生兴趣的目的。

（二）在学习新方法、新思想过程中融入数学史资源，拓展师生视野

在数学发展的历史过程中，新方法、新思想的形成往往是“自然”的，按照历史相似性原理，它是符合人类认知规律的。因此，数学史的研究，可以帮助我们更好地理解新方法、新思想的形成过程。比如，在等比数列求和公式的教学中，要阐明其产生背景和发展的历史过程是怎样的，教材中的推导方法是如何得来的，还有哪些推导方法等，都可以通过对数学史料的研究梳理得到合理的答案。事实上，在古埃及纸草书中关于“有七座房屋，每座有七只猫，每只猫一天吃七只老鼠，每只老鼠一天吃七颗麦穗，每颗麦穗含麦子七个容积单位，问房屋、猫、老鼠、麦穗、麦子容积总数为多少？”这一问题的解决，就是很好的资源，其解决方法是利用古埃及的整数乘法法则得到了等比数列的前n项和Sn与前n-1项和Sn-1 之间的递推关系：

故：当q≠1时，有 。另外，在古希腊欧几里得的《几何原本》第9卷中给出的方法是：设等比数列a1，a2，L，an+1，公比为q≠1，则由

，又由等比定理得，进而化简求得公式。还有我们都熟悉的，也是现在教材中使用的，由欧拉给出的错位相减法推导等比数列求和公式的方法以及其他数学先哲们提供的几何法等。这些数学史料的研究都可以帮助教师掌握推导公式的出发点、关键点、突破点，拓宽教师推导公式的思路方法。利用这些数学史资源可以帮助教师更好地设计出既有探究宽度，又有思维深度的教学方案，更好地培养学生的数学素养。

（三）在知识体系的建构过程中融入数学史资源，实现正本清源

数学知识的产生，大多是基于现实生活中解决问题的实际需求，合理利用数学史资源，可以帮助学生理解数学知识的本质，有利于建构新的知识体系。比如，在高中数学导数概念的教学中，我们可以通过展现牛顿、莱布尼兹研究导数的背景及过程方法，让学生深切体验导数概念的形成，是基于解决物体运动过程中的瞬时速度和曲线在某一点处的切线问题而产生。让学生在真实的情境中找到知识的来源及演变过程，体会其学习的必要性。更重要的是这些数学史资源的融入，可以正本清源，挖掘其本质，帮助学生更加清晰地理解导数的物理意义和几何意义，掌握其研究的思想方法，体验极限的思想，科学地建构导数的概念。

三、 科学引用数学史资源，培养学生的核心素养

我国当前的教育特别关注培养中学生发展核心素养，科学地融入数学史资源，对于发展学生的文化基础、自主发展素养自不必细说。单说在学生发展核心素养中明确提出了国家认同、国际理解的基本要点。对这些概念的理解，要与时俱进，在新时代背景下，国家认同、国际理解已经赋予新的内涵。国家认同不是闭关自守，关起门来给学生讲授我国数学历史上的祖冲之计算的圆周率值比欧洲早近1000年，法国数学家帕斯卡发现二项式系数要比杨辉晚近400年等。而是要利用数学史资源，真实地展示世界各国数学家们在数学学科发展进程中作出的巨大贡献，了解中华民族的先哲们在数学学科发展进程中取得的巨大成就，感受这些先哲们的数学智慧和不懈努力的奋斗精神，培养学生的民族自豪感和爱国热情。在培养学生的国家认同感的同时树立全球意识，用开放的心态、世界的眼光正确理解世界各国文化，在尊重世界多元文化并存的同时，积极参与跨文化的交流互鉴。

近年来，越来越多的大、中、小学教师与象牙塔里的职前教师们对HPM产生了浓厚的兴趣。本文只是讲述了作为一线教师在教学实践中，为了提高自己的教学水平，真正落实学科核心素养而应该做的一些与教學息息相关的工作和所遵循基本路径。但是，要想在该领域探索出成功的道路，也并非易事。它横跨数学史与数学教育两个学科，既需要有坐冷板凳的功夫，也需要有较强的社会实践能力;既需要有文献驾驭和理解的能力，更要有较强的写作能力。HPM学术研究与实践探索是艰辛的历程，但HPM的实践成效却让我们感到惊奇和快乐，让我们携手步入这片新天地，品味成败得失，展望数学教育美好的未来。

基金项目：自治区“十三五”规划课题，课题批准号：2018JGH285。

参考文献：

汪晓勤，杨一丽.HPM视角下的等比数列教学[J].中学教研（数学），2003，（7）.