平面图形“高”的学习困难分析与教学尝试
2020-07-23黄德发
黄德发
摘要:在教学中发现,许多学生对“高”的理解存在困难,主要源自生活经验与数学内涵之间的冲突。在三角形高的教学中,教师要注意建立数学与生活的联系,找准知识生长点,注意加强比较,触及概念本质,实现理解再提升,促进深度学习。
关键词:小学数学 教学尝试 平面图形 高
人教版四年级上册平行四边形和梯形单元,涉及平面图形“高”的知识。许多学生对“高”的理解不够透彻,在辨认和作图中会出现很多错误。在与其他教师的交流中,笔者发现这不是偶然现象,必定有深层次的原因,有必要探根求源,找到破解方法,重塑学生对“高”的认识。
一、探寻“高”的意义,寻求问题根源
(一)何为高?
在日常生活中,我们说这个物体有多高,一般都是指物体的高度,即顶部到地面的距离。这些生活经验使学生很容易辨认竖着的高,而对其他形式的高难以理解。显然,学生把生活中的高与几何图形的高混为一谈了。因此,学生对几何图形的高存在认知困难,存在着深厚的生活根源。
(二)何为平面图形的高?
在小学阶段,我们学习的高主要指的是平行四边形、梯形和三角形的高。人教版教材对平行四边形的高是这样说的:从平行四边形一条边上的一点向对边引垂线,这点到垂足之间的线段就是平行四边形的高。对于梯形的高教材上只给了一幅图,让学生直观感知,其实与平行四边形的高类似。
四年级下册对三角形的高是这样定义的:从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线,顶点到垂足之间的线段叫作三角形的高。
不难发现,两条平行线之间的垂线段就是平行四边形或梯形的高,顶点到对边的垂线段就是三角形的高。高的本质其实就是点到直线的垂线段。
教材中对“高”概念的描述,学生是不容易理解的。要想理解“高”的概念需要“顶点”“对边”“垂线”“垂足”等众多概念为支撑,而这些概念也是刚学习的,要理解“高”的概念实在是个挑战。
(三)生活中的高与平面图形的高有何联系和区别?
1.联系紧密。平面图形的高是高的本义的延伸,生活中通常所说的“高”,一般是指与水平线垂直的线段的长度,这为学生理解平面图形竖直方向的“高”提供了便利。
2.区别明显。首先,平面图形的“高”一般指的是垂线段,这一点和生活中所说的“高”有所区别,但并不明显,因为平面图形的“高”也会用来表示垂线段的长度。其次平面图形的高,并不一定是竖直的,除非它的底是水平的。平面图形的高是与底垂直的,而底可以与水平方向成任何角度。这就与学生的生活经验产生冲突,进而产生学习困难。如图1,右图虚线是三角形的高,而左边图中的虚线则和金字塔的高并无关系。这就体现了数学源于生活却高于生活。
图1通过以上三个问题的分析,我们不难发现,除了概念表述本身难以理解,学生对高的认识困难主要源自生活经验与数学内涵之间的冲突。
二、结合三角形高的认识,重建“高”的概念。
基于以上的分析,笔者认为,“高”的学习,既要扎根于现实生活,也要立足于数学内涵。因此,在三角形高的教学中,我把它摆在了一个非常重要的位置。
三角形的高相对于平行四边形和梯形的高,更具有复杂性,三角形有三条不同的高,钝角三角形有形外高,直角三角形有两条高与边重合。如何突破这些难点,让学生深刻理解?教学中可以从以下三个方面进行了有效尝试。
(一)建立联系,找准知识生长点
“高”的概念来源于生活,为了建立联系,教学中从学生熟悉的“量身高”引入,有效地激活学生的生活经验。
课堂实录:
师:三角形ABC与三角形DEF是好朋友,有一天他们要去量身高,同学们你们量过身高吗?
生:量过。
师:你们是怎么量身高的呢?出示下图
生:站直,上面的标尺要放到头顶上。
师:那么,这个同学的身高是从哪到哪呢?
生:从头顶到脚底。
师板书:头顶 脚底 站直了
在测量身高的情境中,学生感受到头顶与脚底之间的垂直长度就是身高,为感知图形的高初步建立与生活的联系。
课堂实录:
师:三角形ABC要去量身高,想一想,他的身高应该是從哪儿到哪儿呢?
生:从点A到BC。
师:从点A到BC有很多种方法。(师用手势比画多条线路)到底是哪一条呢?
生1:竖直的那一条。
生2:与BC垂直的那一条。
师:你能画出它吗?应该怎样画?
生:用三角尺直角去画。(学生画出这条线)
师:用自己的话说一说,这是怎样的一条线?
生:从顶点A到对边BC画的一条垂线。
师板书:顶点 对边作垂线
师生小结高的概念,并说明:这条对边就像人的脚底一样,我们称之为“底”。
通过激发生活经验,学生建立了头顶与顶点,脚底与对边之间的关联,建立了数学与生活的联系,初步感受到高的一般形态。
(二)加强比较,丰富高的表象
平面图形的高与生活中的高有显著的区别,由于学生经验的不足,对高的认识很容易停留在“竖直”经验上,为此,必须进一步加强与生活中高的比较,丰富几何图形高的表象。
课堂实录:
在比较三角形ABC与三角形DEF身高之后,创设如下情境:
师:三角形DEF比身高获胜,高兴得又蹦又跳,一不小心,脚下一滑,摔倒了(出示下图),三角形ABC看见了,笑着说:哈哈,你的个子变矮了。
师:同学们,这时,三角形DEF的个子是多高,你能指出来吗?
学生指出三角形的高,课件用虚线呈现。
师:为什么这也是三角形的高呢?
生:因为这是顶点E到对边FD的距离。
师:那么,刚才我们从D点画出的那条线还是三角形的高吗?
生:不是
师:说出你的理由。
生:因为他不是竖直的
师:“高”一定要竖直的?
生:不一定,它应该还是三角形的高,因为刚才老师说了,从顶点到对边作垂线,这条垂线段的长度就是他的高。D是三角形的顶点,EF是它的对边,而且这条线垂直EF,所以它也是三角形的高。
师:你们认为呢?(经讨论学生逐渐认同)
师:当自己不太确定的时候,我们可以根据它的定义来判断。从三角形的一个顶点向它的对边作垂线,顶点到垂足之间的线段就是它的高。符合这个定义它就是高。从这里我们也可以看出,高有时候不是竖直的,和我们身高不一样,和我们生活中说的物体的高度也是有区别的。
师:想一想,一个三角形有几条高呢?为什么?
对高的认识,我们不能仅停留在生活经验上,既要从生活中来,又要高于生活,通过这样情境的创设,不断丰富“高”的表象,学生对高的认识达到了新的高度,有效地避免了“竖直”经验的干扰,学会理性地从数学概念来进行推理判断,培养学生的理性精神。
(三)触及本质,实现再提升
画“高”其实就是过直线外一点作已知直线的垂线,但由于受到三角形另外两条边的影响,学生容易出现这样那样的错误,因此,我们把高的学习与旧知联系起来,使学生进一步感受到高的本质,实现理解的再提升。
课堂实录:
依次出现下面两个问题,让学生独立解答。
问题1:小明家的旁边有条河,小明爸爸想修一条路到河边,怎样修最近呢?你能画出这条路吗?
问题2:小红家的旁边也有一条河,小红家到这条河有两条路,不过,她爸爸觉得这两条路都比较远,想修一条最近的路,她該怎么修呢?
完成后,引导学生讨论。
师:在画这两条小路的过程中,你有什么发现吗?
生1:都要画垂线,与小河垂直。
生2:他们的画法一样。
生3:第二个图中,原来的两条路和小河构成一个三角形,这条最近的路就是三角形的高。
生4:三角形的高和点到直线的距离是一样的。
师:说得真好,通过刚才的讨论,我们知道高其实并不神秘,他就是以前我们所认识的点到直线的垂线段。因此,在画三角形高的时候,有时可以忽略另外两条边。
师:通过学习,你认为为什么要研究三角形的高呢?
生1:因为我们知道,点到直线的所有连线中垂线段最短,因此三角形的高就是顶点到对边最短的一条线。
生2:这条线最短,很特殊,值得研究。
师:“高”正因为它的特殊性,在解决许多图形问题中发挥着重要的作用。因此,我们大家一定要学好它,用好它。
建立新旧知识之间的联系,能使学生建构更加完整的知识体系,有利于学生站在新的高度重新审视所学知识。
总之,数学产生于生产实践。在教学中,我们既要抓住它们之间的联系,也要注意它们之间的区别,从更加理性的角度找到学生学习数学知识的生长点,把握数学概念的内涵和本质,让学生在思辨的过程中得到思维的发展。